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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 173 — #179
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2.6 Esperanza 173

ϕpxq

ϕpyq

ϕpxq

x
x y

Figura 2.19

ejemplo, puede adecuarse sin dificultad al caso cuando el dominio de
definici´on sea el intervalo p0, 8q. Con esta informaci´on demuestre que:

a) La condici´on (2.22) es equivalente a
ϕpλ 1 x 1 `¨ ¨ ¨ ` λ n x n q ď λ 1 ϕpx 1 q`¨ ¨ ¨ ` λ n ϕpx n q,

para cualesquiera n´umeros reales x 1 ,... ,x n y valores no negati-
vos λ 1 ,... , λ n tales que λ 1 `¨ ¨ ¨`λ n “ 1, en donde n es cualquier
n´umero natural mayor o igual a 2.
b)Si X es una variable aleatoria estrictamente positiva que toma
un n´umero finito de valores, entonces
1 ´ 1 ¯
ď E .
EpXq X
La desigualdad de Jensen establece que para ϕ convexa,

ϕpEpXqq ď EpϕpXqq.

229. Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad fpxq como apa-
rece abajo. Encuentre el valor de la constante a ą 0 tal que EpXq“ 0.

#
e ´px`aq si x ą ´a,
fpxq“
0 en otro caso.

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