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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 172 — #178
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172 2. Variables aleatorias

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b) fpxq“ 2 , x P R.
πp1 ` x q
225. La paradoja de San Petersburgo. Un jugador lanza repetidas
veces una moneda equilibrada hasta obtener una de las caras previa-
n
mente escogida. El jugador obtiene un premio de 2 unidades mone-
tarias si logra su objetivo en el n-´esimo lanzamiento. Calcule el valor
promedio del premio en este juego.

226. El problema del ladr´on de Bagdad. El ladr´on de Bagdad ha sido
colocado en una prisi´on en donde hay tres puertas. Una de las puertas
conduce a un t´unel que requiere de un d´ıa de traves´ıa y que lo regresa
a la misma prisi´on. Otra de las puertas lo conduce a otro t´unel, a´un
m´as largo, que lo regresa nuevamente a la prisi´on pero despu´es de tres
d´ıas de recorrido. Finalmente, la tercera puerta lo conduce alaliber-
tad inmediatamente. Suponga que el ladr´on escoge al azar cada una
estas puertas, una por una, hasta quedar libre. Encuentre el n´umero
promedio de d´ıas que le toma al ladr´on quedar en libertad.

227. Un jugador lanza dos veces consecutivas un dado equilibrado y obtie-
ne como premio tantas unidades monetarias como indica el resultado
mayor de los dos lanzamientos. Encuentre el valor promedio del pre-
mio.

228. Funciones convexas. Se dice que una funci´on ϕ : pa, bqÑ R es
convexa si para cualesquiera dos puntos x y y en su dominio, y para
cualquier λ Pr0, 1s, se cumple la desigualdad

ϕpλx `p1 ´ λqyq ď λϕpxq`p1 ´ λq ϕpyq. (2.22)

Observe que el conjunto de puntos tλx `p1 ´ λqy : λ Pr0, 1su corres-
ponde al segmento de recta que une a los puntos x y y. Por lo tanto,
esta desigualdad establece que la imagen de este segmento de recta
queda por debajo de la recta que une los valores ϕpxq y ϕpyq.Esta
situaci´on se muestra gr´aficamente en la Figura 2.19. La definici´on de
convexidad puede ser extendida al caso cuando la funci´on no nece-
sariamente est´e definida para la totalidad de los n´umero reales, por

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