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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 170 — #176
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170 2. Variables aleatorias

217. Monoton´ıa. Sean X y Y dos variables aleatorias con esperanza finita.
Demuestre que si X ď Y entonces

EpXq ď EpY q.

218. F´ormula alternativa, caso discreto.Sea X una variable aleato-
ria discreta con funci´on de distribuci´on Fpxq, con esperanza finita y
posibles valores dentro del conjunto t0, 1, 2,...u.Demuestre que

8
ÿ
EpXq“ p1 ´ Fpxqq. (2.20)
x“0

219. Use la f´ormula (2.20) del ejercicio anterior para encontrar la esperanza
de X cuando ´esta tiene funci´on de distribuci´on:

$
’ 0 si x ă 0,
’
’
’ 1{5si 0 ď x ă 1,
’
’
&
a) Fpxq“ 3{5si 1 ď x ă 2,
’
’ 4{5si 2 ď x ă 3,
’
’
’
’
1 si x ě 3.
%
#
0 si x ă 1,
b) Fpxq“
k
1 ´p1{2q si k ď x ă k ` 1; k “ 1, 2,...
220. F´ormula alternativa, caso continuo.Sea X una variable aleatoria
continua con funci´on de distribuci´on Fpxq, con esperanza finita y con
valores en el intervalo r0, 8q.Demuestreque
ż 8
EpXq“ p1 ´ Fpxqq dx. (2.21)
0
221. Use la f´ormula (2.21) del ejercicio anterior para encontrar EpXq cuan-
do X tiene funci´on de distribuci´on:
$
’ 0 si x ă 0,
&
a) Fpxq“ x{2si 0 ď x ă 2,
’
1 si x ě 2.
%

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