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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 168 — #174
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168 2. Variables aleatorias

dimiento es an´alogo. Tenemos que

ÿ ÿ
EpXY q“ xy PpX “ x, Y “ yq
x y
ÿ ÿ
“ xy PpX “ xqPpY “ yq
x y
¯
´ ÿ
¯´ ÿ
“ xPpX “ xq yPpY “ yq
x y
“ EpXq EpY q.
‚
En el Ejercicio 234 se muestra una extensi´on de este resultado que se usar´a
m´as adelante. Se debe se˜nalar que el rec´ıproco de la proposici´on anterior
no es v´alido en general, es decir, la condici´on EpXY q“ EpXqEpY q no
es suficiente para concluir que X y Y son independientes. V´ease el Ejerci-
cio 232 en la p´agina 174 para un ejemplo de esta situaci´on. Por otro lado,
la proposicion anterior tiene la siguiente generalizaci´on.

Proposici´on 2.9 Sean X y Y dos variables aleatorias independientes
ysean gpxq y hpyq dos funciones tales que el producto gpXq hpY q es una
variable aleatoria con esperanza finita. Demuestre que

Er gpXq hpY qs “ ErgpXqs ¨ ErhpY qs. (2.19)

Este resultado establece que si X y Y son independientes, entonces, por
ejemplo y suponiendo la finitud de estas esperanzas,

m
m
n
n
a) EpX Y q“ EpX q EpY q, n, m P N.
b) ErpaX ` bqpcY ` dqs “ EpaX ` bq EpcY ` dq.
X
Y
X Y
c) Epe e q“ Epe q Epe q.
La demostraci´on de la proposici´on anterior sigue el mismo procedimiento
que el utilizado en la demostraci´on de la identidad EpXY q“ EpXq EpY q

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