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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 167 — #173
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2.6 Esperanza 167

Demostraci´on. La primera propiedad es evidente, pues si X es la variable
aleatoria constante c, entonces por definici´on, EpXq“ cPpX “ cq“ c ¨ 1 “
c. El segundo inciso se sigue directamente de la definici´on de esperanza
pues, tanto en el caso discreto como en el caso continuo, la constante c
puede siempre colocarse fuera de la suma o integral. El tercer inciso tambi´en
es inmediato pues en la integral o suma correspondiente s´olo aparecer´an
t´erminos no negativos. Para la ´ultima propiedad, consideraremos el caso en
el que ambas variables son discretas, y por simplicidad usaremos la expresi´on
ppx, yq para denotar PpX “ x, Y “ yq. Tenemos entonces que

ÿ
EpX ` Y q“ px ` yq ppx, yq
x, y
ÿ ÿ
“ xppx, yq` yppx, yq
x, y x,y
ÿ ÿ ÿ ÿ
“ x ppx, yq` y ppx, yq
x y y x
ÿ ÿ
“ xppxq` yppyq
x y
“ EpXq` EpY q.

‚
Observe que la segunda y cuarta propiedad que aparecen en la Proposi-
ci´on 2.7 establecen que la esperanza es lineal, es decir, separa sumas y mul-
tiplicaciones por constantes. Otras propiedades de la esperanza se encuen-
tran en la secci´on de ejercicios. Veamos ahora una aplicaci´on del concepto
de independencia en el c´alculo de la esperanza.

Proposici´on 2.8 Sean X y Y independientes y ambas con esperanza
finita. Entonces
EpXY q“ EpXq EpY q.

Demostraci´on. Por simplicidad consideraremos ´unicamente el caso en el
que ambas variables aleatorias son discretas. En el caso continuo, el proce-

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