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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 165 — #171
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2.6 Esperanza 165

2
Ejemplo 2.22 Calcularemos EpX q, en donde X es la variable aleatoria
continua con funci´on de densidad

#
1si 0 ă x ă 1,
fpxq“
0 en otro caso.

Soluci´on 1. Si se desea aplicar la identidad (2.15) de la definici´on elemental
de esperanza, se tiene que encontrar primero la distribuci´on de la variable
2
aleatoria X . Puede verificarse que

$
’ 0 si x ď 0,
?
&
F X 2pxq“ x si 0 ă x ă 1,
’
1 si x ě 1.
%
De donde, derivando,

#
1 ´1{2 si 0 ă x ă 1,
x
f X 2pxq“ 2
0 en otro caso.
Finalmente, aplicando la definici´on de esperanza (2.15),

ż 1 ż 1 1
2 1{2
EpX q“ xf X 2pxq dx “ x dx “ 1{3.
0 0 2
Soluci´on 2. Ahora resolveremos el mismo problema de una manera m´as
r´apida, aplicando el resultado de la proposici´on anterior. Por la f´ormu-
la (2.17), tenemos que

ż 8 ż 1
2 2 2
EpX q“ x f X pxq dx “ x dx “ 1{3.
´8 0
‚

Los resultados anteriores pueden extenderse al caso de dos o mas variables
aleatorias como se muestra en la siguiente proposici´on.

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