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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 166 — #172
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166 2. Variables aleatorias

Proposici´on 2.6 Sean X y Y dos variables aleatorias continuas defini-
das sobre un mismo espacio de probabilidad y con funci´on de densidad
2
conjunta fpx, yq.Sea ϕ : R Ñ R una funci´on tal que ϕpX, Y q es una
variable aleatoria con esperanza finita. Entonces

ż 8 ż 8
ErϕpX, Y qs “ ϕpx, yq fpx, yq dy dx. (2.18)
´8 ´8

La demostraci´on de este resultado es similar al caso presentado de una sola
variable aleatoria y por lo tanto la omitiremos. Cuando las variables alea-
torias son ambas discretas, el resultado es an´alogo, y en lugar de integrales
aparecen sumas. Como ejemplos de aplicaci´on de la f´ormula (2.18) en el
caso discreto, tenemos las siguientes expresiones:
a) Considerando la funci´on ϕpx, yq“ x ` y, tenemos que

ÿ ÿ
EpX ` Y q“ px ` yq fpx, yq.
x y

b) Considerando la funci´on ϕpx, yq“ xy, tenemos que
ÿ ÿ
EpXY q“ xy fpx, yq.
x y
Estudiaremos a continuaci´on algunas propiedades generales de la esperanza.

Proposici´on 2.7 Sean X y Y dos variables aleatorias con esperanza
finita y sea c una constante. Entonces
1. Epcq“ c.

2. EpcXq“ cEpXq.

3. Si X ě 0 entonces EpXq ě 0.

4. EpX ` Y q“ EpXq` EpY q.

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