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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 164 — #170
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164 2. Variables aleatorias

p´agina 170, la esperanza de ϕpXq puede calcularse como sigue

ż 8
ErϕpXqs “ PpϕpXq ą yq dy
0
ż 8
“ PpX P ϕ ´1 py, 8qq dy
0
ż 8 ż
“ f X pxq dx dy
0 ϕ ´1 py,8q
ż ż ϕpxq
“ f X pxq dy dx
ϕ ´1 p0,8q 0
ż
“ ϕpxq f X pxq dx.
R
De esta forma hemos demostrado el resultado para funciones no negativas.
Veremos que esto es suficiente para obtener el resultado general. Para cual-
quier funci´on ϕpxq, se puede definir su parte positiva y su parte negativa de
la siguiente forma

# #
ϕpxq si ϕpxq ě 0, 0 si ϕpxq ě 0,
` ´
ϕ pxq“ ϕ pxq“
0 si ϕpxq ă 0. ϕpxq si ϕpxq ă 0.
Por lo tanto, ϕpxq admite la descomposici´on
`
´
ϕpxq“ ϕ pxq´p´ϕ pxqq,
`
´
en donde, tanto ϕ pxq como ´ϕ pxq son funciones no negativas. Puede
comprobarse que en este caso la esperanza puede separarse de la siguiente
manera.
` ´
ErϕpXqs “ Erϕ pXqq ´ Ep´ϕ pXqs
ż ż
` ´
“ ϕ pxq f X pxq dx ´ ´ϕ pxq f X pxq dx
R R
ż
`
´
“ pϕ pxq` ϕ pxqq f X pxq dx
R
ż
“ ϕpxq f X pxq dx.
R
‚

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