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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 163 — #169
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2.6 Esperanza 163

Soluci´on 1. Un primer m´etodo consiste en calcular primero la funci´on de
probabilidad de la variable Y . No es complicado verificar que esta funci´on
es
y 0 1 4

f Y pyq 2{8 2{8 4{8
Entonces, usando la definici´on elemental de esperanza para variables alea-
torias discretas tenemos que

EpY q“p0qp2{8q` p1qp2{8q` p4qp4{8q“ 9{4.

Soluci´on 2. Ahora calcularemos la misma esperanza, pero usando la f´ormu-
la (2.16). El resultado es el mismo, pero la ventaja es que no es necesario
calcular la funci´on de probabilidad de Y . Tenemos que

2
2
2
2
2
EpY q“p´2q p2{8q` p´1q p1{8q` p0q p2{8q`p1q p1{8q`p2q p2{8q“ 9{4.
‚
El siguiente resultado corresponde a una versi´on continua de la proposici´on
anterior. Su demostraci´on es ligeramente m´as avanzada que la presentada
en el caso discreto y su lectura puede omitirse sin mayores consecuencias. A
partir de ahora, con frecuencia, calcularemos la esperanza de una funci´on de
una variable aleatoria de la manera como indican estos resultados como si se
tratara de una definici´on. En efecto, en algunos cursos y textos elementales
de probabilidad se adopta tal perspectiva.

Proposici´on 2.5 Sea X una variable aleatoria continua y sea ϕ una
funci´on tal que ϕpXq es una variable aleatoria con esperanza finita.
Entonces
ż 8
ErϕpXqs “ ϕpxq f X pxq dx. (2.17)
´8

Demostraci´on. Supongamos primero que la funci´on ϕpxq es no negati-
va. Entonces, por la f´ormula (2.21) que aparece en el Ejercicio 220, en la

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