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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 161 — #167
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2.6 Esperanza 161

Esperanza de una funci´on de una variable aleatoria

En algunos casos es necesario calcular la esperanza de una funci´on de una
variable aleatoria, por ejemplo, si X es una variable aleatoria discreta, en-
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tonces es claro que Y “ X es una funci´on de X, y consideraremos que Y
es tambi´en una variable aleatoria. Si quisi´eramos encontrar la esperanza de
Y seg´un la expresi´on (2.14) de la definici´on de esperanza tendr´ıamos que
calcular
ÿ
EpY q“ yf Y pyq.
y

Para lo cual se necesita encontrar primero la funci´on de densidad de Y ,y
ello, en general, no es f´acil. El siguiente resultado es muy ´util y establece
una forma de calcular esta esperanza conociendo ´unicamente la funci´on
de densidad de X. A este resultado se le refiere a veces como el teorema
del estad´ıstico inconsciente y lo usaremos con bastante regularidad, ya sea
en esta versi´on discreta o en la versi´on continua que presentaremos m´as
adelante.

Proposici´on 2.4 Sea X una variable aleatoria discreta y sea ϕ una
funci´on tal que ϕpXq es una variable aleatoria con esperanza finita.
Entonces
ÿ
ErϕpXqs “ ϕpxq PpX “ xq. (2.16)
x

Demostraci´on. Sea Y “ ϕpXq ysea y uno de sus posibles valores. As´ı,
existe por lo menos un valor x tal que y “ ϕpxq. Agrupemos todos estos
valores x en el conjunto ϕ ´1 pyq“ tx : ϕpxq“ yu, como se muestra en la
Figura 2.18 . De este modo tenemos que

PpY “ yq“ PpX P ϕ ´1 yq“ ÿ PpX “ xq.
xPϕ ´1 pyq

Es claro que la uni´on de los conjuntos disjuntos ϕ ´1 pyq, considerando todos
los valores y, es el conjunto de todos los valores x que la variable aleatoria

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