Page 170 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 160 — #166
✐ ✐

160 2. Variables aleatorias

funci´on de probabilidad dada por la siguiente tabla.

x ´1 0 1 2

fpxq 1{8 4{8 1{8 2{8

La esperanza de X es el n´umero

ÿ
EpXq“ xfpxq
x
“p´1qp1{8q` p0qp4{8q`p1qp1{8q` p2qp2{8q
“ 1{2.

Observe que la suma se efect´ua sobre todos los valores de x indicados en la
tabla, es decir, ´1, 0, 1 y 2. Tambi´en es instructivo observar que la esperanza
no es necesariamente uno de los valores tomados por la variable aleatoria.
En este ejemplo, el valor 1{2 nunca es tomado por la variable aleatoria, pero
es su valor promedio. ‚

Ejemplo 2.20 (Caso continuo) Considere la variable aleatoria continua
X con funci´on de densidad

#
2x si 0 ă x ă 1,
fpxq“
0 en otro caso.

La esperanza de X es
8 1
ż ż
2
EpXq“ xfpxq dx “ 2x dx “ 2{3.
´8 0
Observe que la integral s´olo es relevante en el intervalo p0, 1q,puesfuera de
este intervalo la funci´on de densidad se anula. ‚

De este modo la esperanza de una variable aleatoria es un promedio ponde-
rado de los valores que toma la variable aleatoria: cada valor x se pondera
con la funci´on de probabilidad fpxq y se suman todas estas cantidades.

✐ ✐

✐ ✐