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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 159 — #165
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2.6 Esperanza 159

Definici´on 2.8 Sea X una variable aleatoria discreta con funci´on de
probabilidad fpxq. La esperanza de X se define como el n´umero

ÿ
EpXq“ xfpxq, (2.14)
x
suponiendo que esta suma es absolutamente convergente, es decir, cuan-
do la suma de los valores absolutos es convergente. Por otro lado, si X
es continua con funci´on de densidad fpxq, entonces la esperanza es

ż 8
EpXq“ xfpxq dx, (2.15)
´8
suponiendo que esta integral es absolutamente convergente,es decir,
cuando la integral de los valores absolutos es convergente.

El n´umero de sumandos en la expresi´on (2.14) puede ser finito o infinito, de-
pendiendo del conjunto de valores que toma la variable aleatoria. Adem´as,
si la suma o integral anteriores no cumplen la condici´on de convergencia
absoluta, entonces se dice que la esperanza no existe o bien que la variable
aleatoria no tiene esperanza finita. En los Ejercicios 223, 224 y 225, en la
p´agina 171, pueden encontrarse ejemplos en donde se presenta esta situaci´on.

La esperanza de una variable aleatoria es entonces un n´umeroque indica
el promedio ponderado de los diferentes valores que la variable puede to-
mar. A la esperanza se le conoce tambi´en con los nombre de media, valor
esperado o valor promedio. En general, se usa la letra griega µ (mu) para
denotarla; es uno de los conceptos m´as importantes en probabilidad y tiene
un amplio uso en las aplicaciones y otras ramas de la ciencia. A partir de es-
te momento resultar´a muy ´util conocer algunas f´ormulas para llevar a cabo
sumas y poseer un manejo adecuado de las t´ecnicas de integraci´on, pues el
c´alculo de la esperanza lo requiere. Mediante algunos ejemplos ilustraremos
a continuaci´on, la forma de calcular esperanzas de variables aleatorias.

Ejemplo 2.19 (Caso discreto) Sea X una variable aleatoria discreta con

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