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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 156 — #162
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156 2. Variables aleatorias

en donde,

ż 8
f X pxq“ f X,Y px, yq dy,
´8
ż 8
f Y pyq“ f X,Y px, yq dx.
´8

Ejemplo 2.18 (Construcci´on de dos v.a.s independientes) El siguien-
te procedimiento es una versi´on simple de un mecanismo general para cons-
truir variables aleatorias independientes. Consideremos que tenemos un pri-
mer experimento aleatorio con espacio muestral Ω 1 “ta, bu y con proba-
bilidades p y1 ´ p para cada uno de estos resultados, respectivamente, y
que, por otro lado, tambi´en tenemos un segundo experimento con espacio
muestral Ω 2 “tc, du con probabilidades q y1 ´ q para estos dos resultados.
La intenci´on es crear el experimento aleatorio consistente en llevar a cabo el
primer experimento seguido del segundo, y para este experimento compues-
to definir dos variables aleatorias independientes. As´ı, el espacio muestral
para el experimento compuesto ser´a el espacio producto

Ω “ Ω 1 ˆ Ω 2 “t pa, cq, pa, dq, pb, cq, pb, dqu.

Definamos la probabilidad de cada uno de estos cuatro resultados como el
producto de las probabilidades individuales, es decir, se asocian las proba-
bilidades: pq, pp1 ´ qq, p1 ´ pqq, p1 ´ pqp1 ´ qq, respectivamente conforme al
orden en el que aparecen en el espacio muestral. Esta asignaci´on de proba-
bilidades es el elemento clave para verificar la propiedad de independencia.
Definamos ahora las variables aleatorias X y Y de la siguiente forma:

Xpa, ´q “ 0, Y p´,cq“ 0,
Xpb, ´q “ 1, Y p´,dq“ 1.

Es decir, sin importar el resultado del segundo experimento, la variable X
asigna los valores cero y uno a los dos resultados del primer experimen-
to. Sim´etricamente, sin importar el resultado del primer experimento, la
variable Y asigna los valores cero y uno a los dos resultados del segundo
experimento.

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