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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 157 — #163
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2.5 Independencia de variables aleatorias 157

Puede verificarse que X y Y son independientes pues, por construcci´on, se
cumple la identidad

PpX “ x, Y “ yq“ PpX “ xq PpY “ yq, ´8 ă x, y ă 8.

‚
La definici´on de independencia de dos variables aleatorias puede extenderse
de manera an´aloga al caso de tres o mas variables aleatorias. Esto significa
que la funci´on de distribuci´on conjunta de todas ellas, o equivalentemente,
la funci´on de probabilidad conjunta, es el producto de las funciones indivi-
duales. La definici´on se puede extender a´un mas para abarcar el caso de su-
cesiones infinitas de variables aleatorias. La independencia se entiende aqu´ı
en el sentido de que cualquier colecci´on finita de estas variables aleatorias
debe ser independiente. En el siguiente cap´ıtulo empezaremos a considerar
sucesiones infinitas de variables aleatorias y supondremos la hip´otesis de
independencia para ellas.
Concluimos esta breve secci´on recordando que el concepto deindependencia
de variables aleatorias se tratar´a de manera m´as completa en el cap´ıtulo
sobre vectores aleatorios.

Ejercicios

212. Independencia: condici´on equivalente caso discreto. Sean X y
Y dos variables aleatorias discretas. Sin p´erdida de generalidad su-
ponga que ambas variables toman valores en N.
a) Usando la identidad

ÿ ÿ
PpX ď x, Y ď yq“ PpX “ u, Y “ vq,
uďx vďy
demuestre que

PpX “ x, Y “ yq“ PpX ď x, Y ď yq
´PpX ď x ´ 1,Y ď yq
´PpX ď x, Y ď y ´ 1q
`PpX ď x ´ 1,Y ď y ´ 1q.

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