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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 155 — #161
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2.5 Independencia de variables aleatorias 155

De esta forma, para poder determinar si dos variables aleatorias son inde-
pendientes, es necesario conocer tanto las probabilidades conjuntas PpX ď
x, Y ď yq como las probabilidades individuales PpX ď xq y PpY ď yq,
y verficar la identidad (2.13) para cada par de n´umeros reales x y y. Por
lo tanto, basta que exista una pareja px, yq para la cual no se cumpla la
igualdad (2.13) para poder concluir que X y Y no son independientes. En
el cap´ıtulo de vectores aleatorios explicaremos la forma de obtener las dis-
tribuciones individuales a partir de la distribuci´on conjunta de dos variables
aleatorias. Nuestra objetivo por ahora es mencionar que no es dif´ıcil demos-
trar, y en el Ejercicio 212 se pide hacerlo, que cuando X y Y son discretas,
la condici´on (2.13) es equivalente a la siguiente expresi´on simple.

Independencia de variables aleatorias: caso discreto

PpX “ x, Y “ yq“ PpX “ xq PpY “ yq, ´8 ă x, y ă 8,

en donde, por el teorema de probabilidad total,

ÿ
PpX “ xq“ PpX “ x, Y “ yq,
y
ÿ
PpY “ yq“ PpX “ x, Y “ yq.
x

En el caso cuando X y Y son continuas y la funci´on F X,Y px, yq puede
expresarse de la forma

ż x ż y
F X,Y px, yq“ f X,Y pu, vq dv du,
´8 ´8
a la funci´on f X,Y px, yq se le llama la funci´on de densidad conjunta de X y
Y . En este caso puede demostrarse que la condici´on de independencia (2.13)
es equivalente a la siguiente expresi´on.

Independencia de variables aleatorias: caso continuo

f X,Y px, yq“ f X pxq f Y pyq, ´8 ă x, y ă 8,

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