Page 164 - flip-proba1

✐ ✐

“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 154 — #160
✐ ✐

154 2. Variables aleatorias

211. Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de densidad

#
c p1 ´|2x ´ 1|q si 0 ă x ă 1,
f X pxq“
0 en otro caso.
Encuentre el valor de la constante c que hace a f X pxq una funci´on
de densidad. Encuentre adem´as la funci´on de densidad de la variable
Y “ ϕpXq cuando

2
a) ϕpxq“px ´ 1q .
b) ϕpxq“ 1{x.
c) ϕpxq“ ln x.

2.5. Independencia de variables aleatorias

El concepto de independencia de eventos que hemos estudiado antes puede
extenderse al caso de variables aleatorias de una forma natural como la
que se presenta en la definici´on que aparece a continuaci´on. En esta secci´on
estudiaremos preliminarmente este concepto, el cual se revisar´a con mucho
m´as detalle en el cap´ıtulo sobre vectores aleatorios. Consideraremos que
tenemos dos variables aleatorias, X y Y , definidas sobre un mismo espacio
de probabilidad.

Definici´on 2.7 Se dice que las variables aleatorias X y Y son inde-
pendientes si los eventos pX ď xq y pY ď yq son independientes para
cualesquiera valores reales de x y y, es decir, si se cumple la igualdad

PrpX ď xqXpY ď yqs “ PpX ď xq PpY ď yq. (2.12)

El lado izquierdo de la identidad anterior tambi´en puede escribirse como
PpX ď x, Y ď yq o bien como F X,Y px, yq, y se le llama la funci´on de
distribuci´on conjunta de X y Y evaluada en el punto px, yq. As´ı, observe
que la identidad (2.12) adquiere la expresi´on

F X,Y px, yq“ F X pxq F Y pyq, ´8 ă x, y ă 8. (2.13)

✐ ✐

✐ ✐