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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 152 — #158
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152 2. Variables aleatorias

inversa en dicho intervalo es ϕ ´1 pyq“ ? y y tiene derivada

d 1
ϕ ´1 pyq“ ? .
dy 2 y

Por lo tanto, la variable Y “ ϕpXq toma valores en p0, 1q y por la f´ormu-
la (2.11) tiene funci´on de densidad
1
$
?
& si 0 ă y ă 1,
2 y
f Y pyq“
0 en otro caso.
%
No es dif´ıcil verificar que ´esta es, efectivamente, una funci´on de densidad.
‚

Ejemplo 2.17 Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de den-
sidad
# ´x
e si x ą 0,
f X pxq“
0 en otro caso.
La variable X toma valores en el intervalo p0, 8q. Sea la funci´on ϕpxq“ 1{x,
la cual es estrictamente decreciente en p0, 8q. Su inversa en dicho intervalo
es ϕ ´1 pyq“ 1{y y tiene derivada
d ´1 1
ϕ pyq“ ´ .
dy y 2

Por lo tanto, la variable Y “ ϕpXq toma valores en p0, 8q y, por la f´ormu-
la (2.11), tiene funci´on de densidad
1
$
& e ´1{y si y ą 0,
f Y pyq“ y 2
0 en otro caso.
%
Haciendo el cambio de variable u “ 1{y en la integral puede verificarse con
facilidad que f Y pyq es, efectivamente, una funci´on de densidad. ‚

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