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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 151 — #157
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2.4 Teorema de cambio de variable 151

Derivando respecto de y, por la regla de la cadena, tenemos que

d ´1
´1
f Y pyq“ f X pϕ pyqq ϕ pyq
dy
ˇ ˇ
ˇ d ˇ
“ f X pϕ ´1 pyqq ˇ ϕ ´1 pyq .
ˇ
ˇ dy ˇ
La ´ultima identidad se obtiene al observar que, como ϕ es estrictamente
creciente, su inversa ϕ ´1 tambi´en lo es y su derivada es positiva. En el
caso cuando ϕ es estrictamente decreciente, se puede demostrar de manera
similar al an´alisis anterior que

F Y pyq“ 1 ´ F X pϕ ´1 pyqq.

Derivando nuevamente respecto de y,
d
f Y pyq“´f X pϕ ´1 pyqq ϕ ´1 pyq
dy
„ d ȷ
“ f X pϕ ´1 pyqq ´ ϕ ´1 pyq
dy
ˇ ˇ
ˇ d ˇ
“ f X pϕ ´1 pyqq ˇ ϕ ´1 pyq .
ˇ
dy
ˇ ˇ
En este caso, la inversa ϕ ´1 es decreciente y su derivada es negativa. ‚
Por simplicidad en el enunciado del resultado anterior, hemos pedido que la
funci´on ϕ sea estrictamente mon´otona y definida en el conjunto de n´umeros
reales, sin embargo ´unicamente se necesita que est´e definida en el rango de
la funci´on X y que presente el comportamiento mon´otono en dicho subcon-
junto. Ilustraremos esta situaci´on en los siguientes ejemplos.

Ejemplo 2.16 Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de den-
sidad
#
1si 0 ă x ă 1,
f X pxq“
0 en otro caso.
As´ı, la variable X toma valores ´unicamente en el intervalo p0, 1q. Considere-
2
mos la funci´on ϕpxq“ x , la cual es estrictamente creciente en p0, 1q,cuya

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