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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 150 — #156
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150 2. Variables aleatorias

Ejemplo 2.15 Sea X una variable aleatoria discreta con distribuci´on

x ´2 ´1 0 1 2

fpxq 1{8 1{8 1{2 1{8 1{8

2
Entonces la variable aleatoria Y “ X toma los valores 0, 1, 4y tiene distri-
buci´on
PpY “ 0q“ PpX “ 0q“ 1{2,
PpY “ 1q“ PpX Pt´1, 1uq “ 2{8,
PpY “ 4q“ PpX Pt´2, 2uq “ 2{8.

‚

Ahora veamos el caso de la transformaci´on ϕ de una variable aleatoria con-
tinua. Se imponen condiciones sobre ϕ y la f´ormula es m´as elaborada.

Proposici´on 2.3 Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de
densidad f X pxq.Sea ϕ : R Ñ R una funci´on continua, estrictamente cre-
ciente o decreciente y con inversa ϕ ´1 diferenciable. Entonces la funci´on
de densidad de Y “ ϕpXq est´a dada por

$ ˇ ˇ
ˇ d
f X pϕ ϕ si y P RangopϕpXqq,
’ ´1 ´1 ˇ
& pyqq ˇ pyq ˇ
ˇ dy ˇ (2.11)
f Y pyq“
0 en otro caso.
’
%
Demostraci´on. Supongamos que ϕ es estrictamente creciente. Calcula-
remos primero la funci´on de distribuci´on de Y en t´erminos de la funci´on
de distribuci´on de X. Para cualquier valor y dentro del rango de la funci´on
ϕpXq,

F Y pyq“ PpY ď yq

“ PpϕpXq ď yq
“ PpX ď ϕ ´1 pyqq

“ F X pϕ ´1 pyqq.

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