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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 149 — #155
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2.4 Teorema de cambio de variable 149

207. Una moneda equilibrada y marcada con “Cara” y “Cruz” se lanza
repetidas veces hasta obtener el resultado “Cruz”. Defina la variable
aleatoria X como el n´umero de lanzamientos necesarios hasta obtener
el resultado de inter´es. Encuentre la funci´on de distribuci´on de X.

2.4. Teorema de cambio de variable

Sea X una variable aleatoria con distribuci´on conocida. Supongaque se
modifica X a trav´es de una funci´on ϕ de tal forma que la composici´on
ϕpXq es una nueva variable aleatoria. Por ejemplo, se puede tomar una
funci´on lineal ϕpXq“ aX ` b, con a y b constantes, o la funci´on cuadr´atica
X
2
ϕpXq“ X o la funci´on exponencial ϕpXq“ e . El problema natural que
surge es el de encontrar la distribuci´on de esta nueva variable aleatoria.
En esta secci´on estudiaremos algunos resultados que nos permiten dar una
respuesta a este problema bajo ciertas condiciones. Consideremos primero
el caso discreto. Este es el caso sencillo de resolver.

Proposici´on 2.2 Sea X una variable aleatoria discreta y sea Y “ ϕpXq
en donde ϕ es cualquier funci´on definida por lo menos en el conjunto de
valores de X. Para cualquier valor y de Y ,

PpY “ yq“ PpX P ϕ ´1 pyqq. (2.9)

Este resultado es evidente pues

PpY “ yq“ PpϕpXq“ yq“ PpX P ϕ ´1 pyqq “ ÿ PpX “ xq. (2.10)
xPϕ ´1 pyq

Es decir, Y toma el valor y si, y s´olo si, X toma un valor en el conjunto
ϕ ´1 pyq. Este ´ultimo t´ermino es la imagen inversa de y bajo la funci´on ϕ,
esto es, ϕ ´1 pyq“t x : ϕpxq“ y u. La suma que aparece en (2.10) se lleva a
cabo sobre todos los valores x en este conjunto.

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