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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 121 — #127
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2.2 Funci´ on de probabilidad 121

Dado lo anterior, la probabilidad de un evento para variables aleatorias dis-
cretas se reduce al c´alculo de una suma, esto es, si A es cualquier subconjunto
de R, entonces
ÿ
PpX P Aq“ fpxq,
xPA
en donde la suma se efect´ua sobre aquellos valores x dentro del conjunto
A tales que fpxq es estrictamente positiva. De esta manera, la funci´on de
probabilidad fpxq muestra la forma en la que la probabilidad se distribuye
sobre el conjunto de puntos x 0 ,x 1 ,...

Por otro lado, recordemos que es importante poder distinguirentre X y
x pues, conceptualmente, son cosas distintas. La primera es una funci´on y
la segunda es un n´umero real. Es importante tambi´en observar que hemos
denotado a una funci´on de probabilidad con la letra f min´uscula. A veces
escribiremos f X pxq y el sub´ındice nos ayudar´a a especificar que tal funci´on
es la funci´on de probabilidad de la variable X. Esta notaci´on ser´a particu-
larmente ´util cuando consideremos varias variables aleatorias a la vez, pero
por ahora omitiremos esa especificaci´on. A toda funci´on de la forma (2.2) la
llamaremos funci´on de probabilidad. Observe que se cumplen las siguientes
dos propiedades.

a) fpxq ě 0 para toda x P R.
ÿ
b) fpxq“ 1.
x

Rec´ıprocamente, a toda funci´on fpxq : R Ñ R que sea cero, excepto en
ciertos puntos x 0 ,x 1 ,... en donde la funci´on toma valores positivos, se le
llamar´a funci´on de probabilidad cuando se cumplan las dos propiedades
anteriores y sin que haya de por medio una variable aleatoria que la defina.
De esta manera, el estudio del modelo de probabilidad se traslada al estudio
de funciones reales. Veamos un par de ejemplos.

Ejemplo 2.6 Considere la variable aleatoria discreta X que toma los va-
lores 1, 2 y 3, con probabilidades 0.3, 0.5y 0.2, respectivamente. Observe
que no se especifica ni el experimento aleatorio ni el espacio muestral, ´uni-
camente los valores de la variable aleatoria y las probabilidades asociadas.

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