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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 124 — #130
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124 2. Variables aleatorias

al c´alculo de una integral. V´ease la Figura 2.9, en donde se muestra esta
forma de calcular probabilidades. No es dif´ıcil comprobar que toda funci´on
de densidad fpxq de una variable aleatoria continua cumple las siguientes
propiedades an´alogas al caso discreto.

a) fpxq ě 0 para toda x P R.

ż 8
b) fpxq dx “ 1.
´8

Rec´ıprocamente, toda funci´on fpxq : R Ñ R que satisfaga estas dos propie-
dades, sin necesidad de tener una variable aleatoria de por medio, se llamar´a
funci´on de densidad. Hacemos la observaci´on, nuevamente, de que la funci´on
de densidad muestra la forma en la que la probabilidad se distribuye sobre
el conjunto de n´umeros reales. Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 2.8 La funci´on dada por

#
1{2si 1 ă x ă 3,
fpxq“
0 en otro caso,
es la funci´on de densidad de una variable aleatoria continua que toma valores
en el intervalo p1, 3q y cuya gr´afica aparece en la Figura 2.10. Es inmediato
verificar que se trata de una funci´on no negativa cuya integral vale uno. Ob-
serve que en el lenguaje que hemos utilizado se acepta, de manera impl´ıcita,
la hip´otesis de que se puede definir una variable aleatoria con esta funci´on
de densidad en un espacio de probabilidad no especificado.
‚

Ejemplo 2.9 Encontraremos el valor de la constante c que hace que la
siguiente funci´on sea de densidad.

#
c |x| si ´ 1 ă x ă 1,
fpxq“
0 en otro caso.
Una variable aleatoria continua con esta funci´on de densidad toma valores
en el intervalo p´1, 1q, pues en dicho intervalo la funci´on de densidad es

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