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“probMathBookFC” — 2019/2/9 — 17:32 — page 117 — #123
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2.1 Variables aleatorias 117

las caracter´ısticas de la variable aleatoria. Estas funciones, llamadas funci´on
de densidad y funci´on de distribuci´on, nos permiten representar a un mismo
tiempo tanto los valores que puede tomar la variable aleatoria como las
probabilidades de los distintos eventos. Definiremos primero la funci´on de
probabilidad para una variable aleatoria discreta, despu´es la funci´on de
densidad para una variable aleatoria continua, y finalmente definiremos la
funci´on de distribuci´on para ambos tipos de variables aleatorias.

Ejercicios

160. Suponga que un experimento aleatorio consiste en escoger un n´umero
al azar dentro del intervalo p0, 1q. Cada resultado ω del experimento
se expresa en su expansi´on decimal

ω “ 0.a 1 a 2 a 3 ¨¨¨

en donde a i Pt0, 1,... , 9u, i “ 1, 2,... Para cada una de las siguientes
variables aleatorias determine si ´esta es discreta o continua, y esta-
blezca el conjunto de valores que puede tomar.

a) Xpωq“ 1 ´ ω. d) Xpωq“ t100 ωu.
b) Xpωq“ a 1 . e) Xpωq“ a 1 ` a 2 .

c) Xpωq“ 0.0a 1 a 2 a 3 ¨¨¨ f ) Xpωq“ a 1 ¨ a 2 .

161. Imagen inversa. Sean Ω 1 y Ω 2 dos conjuntos y sea X : Ω 1 Ñ Ω 2
una funci´on. La imagen inversa de cualquier subconjunto A Ď Ω 2 bajo
la funci´on X es un subconjunto de Ω 1 denotado por X ´1 A y definido
como sigue
X ´1 A “t ω P Ω 1 : XpωqP A u.

V´ease la Figura 2.6 y observe que X es una funci´on puntual mientras
que X ´1 es una funci´on conjuntista, pues lleva subconjuntos de Ω 2
en subconjuntos de Ω 1 . Demuestre que la imagen inversa cumple las
siguientes propiedades. Para A, A 1 ,A 2 subconjuntos de Ω 2 ,

c
c
a) X ´1 A “pX ´1 Aq .

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