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2.1 Introducci´ on 91

Ejemplo 2.6 Sea k ě 1unentero. Alaestad´ıstica que aparece abajo se le
conoce con el nombre de k-´esimo momento muestral. Se trata del promedio

aritm´etico de las variables aleatorias de la muestra elevadas a la potencia
k.Cuando k “ 1, esta estad´ıstica se reduce a la media muestral.

n
1 ÿ k
T “ X .
i
n
i“1
‚

Para mayor claridad, veremos ahora algunos ejemplos de funciones de una
muestra aleatoria que no son estad´ısticas.

Ejemplo 2.7 Sea X ,...,X una m.a. de la distribuci´on Poissonpθq,en
1
n
donde el par´ametro θ ą 0 es desconocido. La variable aleatoria T “ θ X 1 `¨¨¨`X n
no es una estad´ıstica puesto que en su definici´on aparece el par´ametro des-

conocido θ. ‚

2
Ejemplo 2.8 Sea X ,...,X una m.a. de la distribuci´on Npµ, σ q,en don-
n
1
2
de los par´ametros µ y σ son desconocidos. La variable aleatoria T “
1 ř n
? pX ´ µq{σ no es una estad´ıstica puesto que en su definici´on apa-
i
n i“1
2
recen los par´ametros desconocidos µ y σ .Sin embargo, puededemostrarse
que la distribuci´on de T no depende de ning´un par´ametro desconocido, se
trata de la distribuci´on normal est´andar. ‚

Cuando alguna estad´ıstica se proponga o se construya con el objetivo de
servir como estimador para un par´ametro desconocido θ se le denotar´a, de
ˆ
ˆ
manera sugerente, por θ,y sele llamar´aun estimador. El s´ımbolo θ se lee
“teta circunflejo”. Aqu´ıtenemos la definici´on.

Definici´on 2.4 Un estimador puntual para un par´ametro descono-
ˆ
cido θ es una estad´ıstica denotada por θ que se propone para estimar el
par´ametro.