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96 2. Estimaci´ on puntual

Ejemplo 2.10 Sea X una variable aleatoria continua con funci´on de den-
sidad
#
θ x θ´1 si 0 ă x ă 1,
fpx, θq“
0 en otro caso,

en donde θ ą 0es unpar´ametro desconocido. Supongamos que contamos
con una muestra aleatoria X ,...,X de esta distribuci´on. Puede compro-
1
n
barse, sin mucha dificultad, que EpXq“ θ{p1 ` θq.La igualaci´on de esta
ˆ
ˆ
¯
esperanza con la media muestral produce la ecuaci´on θ{p1 ` θq“ X.Ob-
ˆ
serve nuevamente que al escribir esta identidad hemos puesto θ en lugar θ.
ˆ
Resolviendo para θ se obtiene el estimador
¯
ˆ X
θ “ ¯ .
1 ´ X

ˆ
Si x ,...,x son los valores num´ericos observados, entonces θ “ ¯x{p1 ` ¯xq
n
1
es el valor estimado para θ por el m´etodo de momentos. ‚

En los ejemplos anteriores s´olo ha habido un par´ametro por estimar. En el
siguiente ejemplo consideraremos un caso importante en donde es necesario

estimar dos par´ametros.

2
Ejemplo 2.11 Encontraremos estimadores para los par´ametros µ y σ de
una distribuci´on normal mediante el m´etodo de momentos. Como se necesi-
tan estimar dos par´ametros, se usan los dos primeros momentos. El primer
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2
2
y segundo momentos poblacionales son EpXq“ µ y EpX q“ σ ` µ .La
igualaci´on respectiva de estas cantidades con los dos primeros momentos
muestrales produce el sistema de ecuaciones

¯
ˆ µ “ X,
n
1 ÿ
2
2
ˆ σ ` ˆµ 2 “ X .
n i
i“1
Al hacer la igualaci´on entre los momentos hemos escrito ˆµ en lugar de µ
2
2
yˆσ en lugar de σ .Se trata ahoraderesolver estesistemadeecuaciones