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90 2. Estimaci´ on puntual

Si x ,...,x son valores particulares de las variables de la muestra aleatoria,
1
n
entonces la media muestral es el n´umero ¯x definido antes,
n
1 ÿ
¯ x “ x .
i
n
i“1
¯
Observe el uso de may´usculas y min´usculas. La estad´ıstica X es una variable
aleatoria mientras que ¯x es un n´umero real. ‚

Ejemplo 2.4 La siguiente funci´on de una muestra aleatoria es una es-
tad´ıstica y se le conoce con el nombre de varianza muestral.
n
1 ÿ
2 ¯ 2
S “ pX ´ Xq .
i
n ´ 1
i“1
Observe que en este promedio aparece el t´ermino n´1en el denominador y
no el n´umero de sumandos n.M´as adelante justificaremos esta elecci´on. Si

x ,...,x son valores particulares de las variables de la muestra aleatoria,
n
1
entonces el valor de la varianza muestral es el n´umero
n
1 ÿ
2 2
s “ px ´ ¯xq .
i
n ´ 1
i“1
‚

Ejemplo 2.5 Sea k un entero tal que 1 ď k ď n.La k-´esima estad´ıstica
de orden de una muestra aleatoria de tama˜no n es una variable aleatoria
definida de la siguiente forma

X “ k-´esimo m´ın tX ,...,X u.
pkq 1 n
Esto es, X p1q es la primera estad´ıstica de orden, o bien, puntualmente,
X p1q pωq“ m´ın tX pωq,...,X pωqu, X p2q es la segunda estad´ıstica de or-
1
n
den, etc´etera. Se debe observar que estas variables aleatorias no son ne-
cesariamente alguna de las variables de la muestra aleatoria, sino que son

funciones de todas ellas en la forma indicada arriba. Adem´as, las estad´ısticas
de orden no son independientes pues guardan siempre el orden ascendente
X ď ¨¨¨ ď X .Para denotar a la k-´esima estad´ıstica de orden tambi´en
p1q pnq
se usa el s´ımbolo X k : n .La ventajadeesta expresi´on alternativa es que se
especifica el tama˜no n de la muestra aleatoria. ‚