Page 96 - EI2019.pdf
P. 96
88 2. Estimaci´ on puntual
De esta manera, habiendo supuesto una distribuci´on de probabilidad para
una variable aleatoria de inter´es, en donde la distribuci´on depende de un
par´ametro no especificado en su valor, el problema consiste en encontrar un
mecanismo para estimar el par´ametro desconocido tomando como informa-
ci´on una serie de observaciones de la variable aleatoria.
En el tratamiento que seguiremos no vamos a considerar observaciones par-
ticulares x ,...,x , sino observaciones aleatorias. Escribiremos entonces a
n
1
´estas como la colecci´on de variables aleatorias X ,...,X , e impondremos
n
1
dos condiciones fuertes sobre ellas: independencia e id´entica distribuci´on. A
esta colecci´on se le llama muestra aleatoria, lo que se abrevia usando las
letras iniciales m.a.
Definici´on 2.2 Una muestra aleatoria es una colecci´on de variables
aleatorias X ,...,X que son independientes e id´enticamente distribui-
n
1
das.
Las dos hip´otesis mencionadas son caracter´ısticas ideales de n observacio-
nes de la variable aleatoria y que no necesariamente se cumplen en una
situaci´on real, pero facilitan considerablemente el an´alisis probabil´ıstico de
los modelos. Sobre la independencia, tenemos que un valor observado para
una de las variables no influye o afecta la distribuci´on de probabilidad de
cualquier otra variable, siendo esta distribuci´on la misma para obtener cada
una de las observaciones. Esto ´ultimo se refiere a la id´entica distribuci´on.
Supondremos, entonces, que todas las variables de una muestra aleatoria
tienen la misma funci´on de densidad o de probabilidad fpx, θq.
En particular, la primera observaci´on x puede ser un valor de X ,lase-
1
1
gunda observaci´on x puede ser un valor de X ,etc´etera. As´ı, las variables
2
2
aleatorias X ,...,X representan n observaciones al azar e independientes
1
n
de la variable aleatoria en estudio. Al n´umero entero n ě 1 se le llama ta-
ma˜no de la muestra aleatoria y, a menos que se especifique los contrario,
supondremos que este entero es conocido.
