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2.1 Introducci´ on 93

d)¿Es cierto que toda estad´ıstica es una variable aleatoria?

e)¿Es cierto que toda funci´on de una m.a. es una estad´ıstica?

f )¿Es cierto que toda funci´on de una estad´ıstica es una estad´ıstica?

100. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on cualquiera.
1
n
Demuestre las siguientes identidades.
n
ÿ
¯
a) pX ´ Xq“ 0.
i
i“1
n n
ÿ ÿ
¯
¯
2
2
2
b) pX ´ Xq “p X q´ nX .
i
i
i“1 i“1
n n
1 ” ÿ 1 ÿ ı
2 2 2
c) S “ X ´ p X q .
i
i
n ´ 1 n
i“1 i“1
101. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on fpx, θq,de-
1
n
pendiente de un par´ametro desconocido θ.Determine si las siguientes
variables aleatorias son estad´ısticas.
2
a) T “ X . h) T “pX `¨ ¨ ¨ ` X q .
1
n
1
b) T “pX ` X q{2. i) T “ exp tX `¨ ¨ ¨ ` X u.
n
1
n
1
n
c) T “ X ` 2X `¨ ¨ ¨ ` nX . 1 ÿ X ´ EpX q
i
1
n
i
2
j) T “ a .
d) T “ 1 pX q. n VarpX q
i
pθ,8q 1 i“1
n ¯
e) T “pX `¨ ¨ ¨ ` X q´ θ. 1 ÿ X ´ X
i
1
n
k) T “ ? .
f ) T “ θ ¨pX ´ X q. n S 2
pnq p1q i“1
2
2
g) T “ X `¨ ¨ ¨ ` X . l) T “pX ¨¨¨ X q 1{n .
1
n
n
1
102. Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on uniforme en el
1
n
conjunto discreto ta ,...,a u,en donde los valores a ,...,a y m son
1
m
1
m
desconocidos. A partir de alguna argumentaci´on intuitiva, proponga
un estimador para cada uno de los siguientes par´ametros.