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2.2 M´ etodo de momentos 95

Definici´on 2.6 Sea k ě 1 un entero. El k-´esimo momento de una
k
muestra aleatoria X ,...,X es la variable aleatoria 1 ř n X .
n
1
i
n
i“1
A estas variables aleatorias se les llama momentos muestrales. En particu-
¯
lar, el primer momento muestral es la media muestral X.Ahora podemos
enunciar el m´etodo de momentos.

¿En qu´econsiste el m´etodo de momentos? Consiste en igualar los
momentos muestrales con los correspondientes momentos poblacionales

yresolver estaecuaci´on, o sistema de ecuaciones, para el par´ametro o
vector de par´ametros, cuando ello sea posible.

Se igualan tantos momentos como par´ametros haya que estimar, suponien-
do que suficientes momentos poblacionales existen para la distribuci´on en
cuesti´on y que son distintos de cero. El m´etodo de momentos es muy sencillo
de aplicar y lo ilustraremos a continuaci´on con algunos ejemplos.

Ejemplo 2.9 Sea X ,...,X una muestra aleatoria de la distribuci´on Berpθq,
1
n
en donde θ es desconocido. La estimaci´on del par´ametro θ por el m´etodo
de momentos consiste en igualar el primer momento de la distribuci´on, que
¯
es θ,con elprimer momento muestral, que es X.Esta igualaci´on produce
directamente la identidad

¯
ˆ
θ “ X.
ˆ
Observe que cuando se ha hecho la igualaci´on ya no se escribe θ,sino θ,
pues resolver la ecuaci´on para este t´ermino produce el estimador por el
m´etodo de momentos. De esta manera, si x ,...,x son los valores de las
n
1
observaciones, entonces el promedio ¯x “px `¨ ¨ ¨ ` x q{n es la estimaci´on
1
n
para θ por el m´etodo de momentos. ‚