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86 2. Estimaci´ on puntual

Definici´on 2.1 Al conjunto de todos los posibles valores de un par´ame-
tro de una distribuci´on de probabilidad se le llama espacio parametral
yse ledenotaporla letra Θ (teta may´uscula).

En realidad, el par´ametro θ puede ser una cantidad unidimensional, es decir,
un solo par´ametro, o bien un vector de dos o m´as par´ametros θ “pθ , θ ,...q.
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Por otro lado, sabemos bien que existen distribuciones de probabilidad que
no dependen de ning´un par´ametro; sin embargo, aqu´ıestamos consideran-

do la situaci´on en donde por lo menos hay un par´ametro involucrado y es
desconocido.

Tenemos as´ılacolecci´on o familia parametral tfpx, θq : θ P Θu de funciones
de densidad o de probabilidad, en donde la letra θ es el nombre gen´erico que
utilizaremos para denotar a un posible par´ametro. Veamos algunos ejemplos.

‚ Para la distribuci´on Berpθq,elpar´ametro θ toma valores en el espacio
parametral Θ “p0, 1q.

‚ Para la distribuci´on binpk, pq, el par´ametro θ es el vector de par´ame-
tros pk, pq yel espacio parametrales el producto cartesiano Θ “
t1, 2,...uˆp0, 1q.

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‚ Para la distribuci´on Npµ, σ q,el par´ametro θ es el vector de par´ametros
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pµ, σ q yel espacioparametrales elconjunto Θ “ p´8, 8q ˆ p0, 8q,
correspondiente a la mitad superior del plano cartesiano.

Supongamos ahora que x ,...,x son observaciones independientes que se
n
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han obtenido de la variable aleatoria de inter´es. Es claro que estos valores
observados pueden dar alg´un indicio del valor desconocido del par´ametro θ.
El problema que se plantea es el siguiente: ¿c´omo podemos usar estas obser-
vaciones para estimar el par´ametro θ para que de esta manera la funci´on de
densidad o de probabilidad fpx, θq quede completamente especificada? Ilus-
traremos la situaci´on con algunos ejemplos dentro de un contexto pr´actico.

Ejemplo 2.1 Se desea conocer la calidad de un lote de 1, 000 art´ıculos.
Dada la imposibilidad o no conveniencia de someter a prueba a todos ellos,
se escogen 20 art´ıculos al azar obteni´endose los siguientes resultados.