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94 2. Estimaci´ on puntual

a) a . c) m.
1
b) a . d) a ´ a .
m
m
1

103. Sean X ,...,X una muestra aleatoria de una distribuci´on cualquiera.
n
1
Demuestre que para cualquier estad´ıstica T,
n n
ÿ ÿ
¯ 2 2
pX ´ Xq ď pX ´ Tq .
i
i
i“1 i“1

2
104. Sea X ,...,X n una muestra aleatoria de la distribuci´on Npµ, σ q.
1
¯
Encuentre la distribuci´on de la variable Y “ X ´ X,paracada
i
i
i “ 1,...,n.

2.2. M´etodo de momentos

1
Este m´etodo para encontrar estimadores fue introducido por Karl Pearson a
principios del siglo XX.Consideremos nuevamente que fpx, θq es la funci´on
de densidad o de probabilidad de una variable aleatoria X que depende
de un par´ametro desconocido θ.Elm´etodo de momentos nos provee de un
mecanismo general para estimar θ,yparaexplicarlo necesitamos recordar

antes dos conceptos.

Definici´on 2.5 Sea k ě 1 un entero. El k-´esimo momento de una
k
variable aleatoria X, si existe, es el n´umero EpX q.

3
2
A los n´umeros EpXq,EpX q,EpX q,... se les llama tambi´en momentos po-
blacionales. En general, en las expresiones de estas cantidades aparece el
par´ametro o vector de par´ametros θ, los cuales son de nuestro inter´es. Por

otro lado, supongamos que X ,...,X es una muestra aleatoria de la dis-
1
n
tribuci´on en estudio. Tenemos la siguiente definici´on de otros tipos de mo-
mentos.

1
Karl Pearson (n´eCarl Pearson, 1857-1936),estad´ıstico ingl´es.