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390 Ap´ endice B

Esto es equivalente a

ż
8
e
0 “ hptq¨ t n´1 ´θt dt,
0
lo cual corresponde a una transformada de Laplace de la funci´on hptq¨
t n´1 .Por la propiedadde unicidad, esta transformadaescero si,y s´olo
si, la funci´on hptq¨ t n´1 es cero. De aqu´ıse obtiene que hptq debe ser
cero.
b)Tenemos que

ż
1 8 1 pθtq 2n´1
Ep q“ θ e ´θt dt
T 0 t p2n ´ 1q!
ż 8 2n´2
θ pθtq
“ θ e ´θt dt
2n ´ 1 0 p2n ´ 2q!
θ
“ .
2n ´ 1
c)De los incisos anteriores se obtiene que p2n ´ 1q{T es una estad´ıstica
insesgada, suficiente y completa para θ.Recordemosquelas dos ´ulti-
mas propiedades se preservan bajo transformaciones biyectivas. Por el
teorema de Lehmann-Scheff´e, este estimador es el UMVUE para θ.

270. a)Sea pt 1 ,...,t k q un posible valor de T “pT 1 ,...,T k q.Entonces

px 1 ,...,x n q
f X 1 ,...,X n
f X 1 ,...,X n | T px 1 ,...,x n | t 1 ,...,t k q“ ,
f T pt 1 ,...,t k q
en donde se deben cumplir las relaciones
n
ÿ
T 1 px 1 ,...,x n q“ d 1 px i q“ t 1 ,
i“1
n
ÿ
T 2 px 1 ,...,x n q“ d 2 px i q“ t 2 ,
i“1
.
.
.
n
ÿ
T k px 1 ,...,x n q“ d k px i q“ t k .
i“1
Suponiendo el caso continuo y definiendo la imagen inversa D “tpy 1 ,...,y n q :
Tpy 1 ,...,y n q“pt 1 ,...,t k qu,se puede escribir
ż
f T pt 1 ,...,t k q“ f X 1 ,...,X n py 1 ,...,y n q dy 1 ¨¨¨ dy n .
D