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Sugerencias a los ejercicios 391

Por lo tanto,

f X 1 ,...,X n | T px 1 ,...,x n | t 1 ,...,t k q

ˆż ˙ ´1
py n q
f X 1 py 1 q¨¨¨ f X n
“ dy 1 ¨¨¨ dy n
D f X 1 px 1 q¨¨¨ f X n px n q
˜ ¸ ´1
ż n n n
ź ÿ ÿ
bpy i q
“ p q exppcpθqr dpy i q´ dpx i qsq dy 1 ¨¨¨ dy n ,
D i“1 bpx i q i“1 i“1
ř n ř n
pero dpy i q“ dpx i q“pt 1 ,...,t k q,porlo tantoel exponente
i“1 i“1
es nulo y la expresi´on no depende de θ.
b)La factorizaci´on es

« ff « ff
n n n
ź ÿ ź
n
fpx i ; θq“ a pθq expp cpθq dpx i qq bpx i q .
i“1 i“1 i“1

271. Puede comprobarse que la funci´on de densidad de la variable X 1 {θ no de-
pende de θ yest´adada por

#
2p1 ´ uq si 0 ă u ă 1,
fpuq“
0 en otro caso.

Dado un valor de α,puedenencontrarsedos valores 0 ă a ă b tales que
a a
Ppa ă X 1 {θ ă bq“ 1 ´ α. Por ejemplo, a “ 1 ´ 1 ´ α{2y b “ 1 ´ α{2,
para α ą 1{2. De aqu´ıse obtiene el intervalo

X 1 X 1
Pp a ă θ ă a q“ 1 ´ α.
1 ´ α{2 1 ´ 1 ´ α{2

272. La variable aleatoria X {θ tiene funci´on de distribuci´on
pnq
#
u n si 0 ă u ă 1,
Fpuq“
0 en otro caso.

El intervalo pa, bq de longitud m´ınima tal que Fpbq´ Fpaq“ 1 ´ α est´adado
por pα 1{n , 1q.Por lo tanto, Ppα 1{n ă X pnq {θ ă 1q“ 1´α. De aqu´ıseobtiene
el intervalo
PpX ă θ ă X {α 1{n q“ 1 ´ α.
pnq pnq