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394 Ap´ endice B

?
c) α “ PpZ ą p4.2 ´ 2q{ 2q“ 0.05989747,
?
β “ PpZ ď p4.2 ´ 5q{ 2q“ 0.2858038 .
a
d) α “ PpZ ą p4.1 ´ 2q{ 4{3q“ 0.03448217,
a
β “ PpZ ď p4.1 ´ 5q{ 4{3q“ 0.2178653 .
?
281. a) πpθq“ 1 ´ Φp np θ ´ 1qq,para0 ă θ ă 8.
θ 0
?
b)sup πpθq“ 1 ´ Φp´ nq.
θPp0,θ 0 s
c)sup p1 ´ πpθqq “ 1.
θPpθ 0 ,8q
σ
282. c “ ? Φ ´1 p1 ´ α{2q, πpθq“ 1 ´ Φp θ 0 ´θ`c q` Φp θ 0 ´θ´c q, ´8 ă θ ă 8.
?
?
n σ{ n σ{ n
283. Supondremos un modelo normal para el consumo de agua con media desco-
2
2
nocida θ yvarianzaconocida σ “p2000q .Llevaremosa cabo la prueba de
hip´otesis
H 0 : θ “ 20, 000 vs H 1 : θ ‰ 20, 000.
Los datos proporcionados corresponden a los valores de una muestra aleatoria
de tama˜no n “ 15, y haciendo el promedio de estos valores se obtiene una
media muestral ¯x “ 20546.2. La estad´ıstica de prueba toma entonces el valor

20546.2 ´ 20000
¯ x ´ θ 0
z 0 “ ? “ ? “ 1.0577 .
σ{ n 2000{ 15
Por otro lado, tomando α “ 0.1, de la tabla de probabilidades de la distribu-
ci´on normal se encuentra que z α{2 “ 1.65. Como no se cumple la condici´on
|z 0 | ě z α{2 ,laestad´ıstica de prueba Z 0 cae fuera de la regi´on de rechazo y,
por lo tanto, no se rechaza la hip´otesis H 0 ,esdecir,no existenevidencias
para afirmar que el consumo de agua por casa en la zona de estudio haya
cambiado.
284. Para contestar a esta pregunta podemos llevar a cabo la prueba de hip´otesis

H 0 : θ 1 ´ θ 2 “ 0 vs H 1 : θ 1 ´ θ 2 ‰ 0,

en donde θ 1 corresponde a la media de la poblaci´on de mujeres, y θ 2 ala
media de la poblaci´on de hombres. Con lo datos recabados la estad´ıstica de
la prueba toma el valor

¯ x 1 ´ ¯x 2 ´ δ
“´8.11 .
z “ b
σ 2 σ 2
1 2
`
n 1 n 2
Con α “ 0.10 se tiene que z α{2 “ 1.65. Entonces |z| ě z α{2 yporlo tanto
se rechaza la hip´otesis nula, es decir, las poblaciones de hombres y mujeres
muestran tiempos promedios diferentes para terminar la prueba escrita.