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Sugerencias a los ejercicios 389

integral es cero si, y s´olo si, la funci´on hptq es cero. La completez de X p1q es
equivalente a la completez de X ´1{n.Porel teorema de Lehmann-Scheff´e,
p1q
se concluye que X ´ 1{n es el UMVUE para θ.
p1q
268. a)Veamos primero la suficiencia. Esta propiedad se puede demostrar usan-
do el teorema de factorizaci´on. Tenemos que
n θ´1
Lpx 1 ,...,x n ; θq “ θ px 1 ¨¨¨ x n q 1 px 1 q¨¨¨ 1 px n q
p0,1q p0,1q
n 1{n npθ´1q
“ θ ppx 1 ¨¨¨ x n q q ¨ 1 p0,1q px 1 q¨¨¨ 1 p0,1q px n q
“ gpUpx 1 , ¨¨¨ ,x n q; θq¨ hpx 1 ,...,x n q.

Ahora veamos la completez. Sea h una funci´on tal que ErhpUqs “ 0,
para cualquier θ ą 0, y en donde es suficiente considerar la estad´ıstica
U “ X 1 ¨¨¨ X n .Esto es,
ż 1 ż 1
n θ´1
¨¨¨ hpx 1 ¨¨¨ x n qθ px 1 ¨¨¨ x n q dx 1 ¨¨¨ dx n “ 0.
0 0

Sin p´erdida de generalidad puede considerarse el caso cuando s´olo hay
una variable involucrada. La identidad anterior se reduce entonces a la
condici´on: para cualquier θ ą ´1,

ż 1
θ
hpxqx dx “ 0.
0
Esto implica que hpxq“ 0c.s.

b)Se escribe T “´pn ´ 1q{ ln U yse observa que T es U-medible. Esto
implica que EpT | Uq“ T, y por el teorema de Lehmann-Scheff´e, se
concluye que T es el UMVUE para θ.

269. Se debe observar primeramente que la distribuci´on en cuesti´on es gamap2, θq,
de modo que X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n tiene distribuci´on gamap2n, θq.

a)Se puede demostrar la suficiencia usando el teorema de factorizaci´on.
Tenemos que
n
ź
e
px 1 ,...,x n q“ θ 2n ´θpx 1 `¨¨¨`x n q x i q1 px 1 q¨¨¨ 1
f X 1 ,...,X n ¨p p0,8q p0,8q px n q
i“1
“ gpTpx 1 ,...,x n q; θq¨ hpx 1 ,...,x n q.

Para la completez, supongamos que h es una funci´on tal que para cual-
quier θ ą 0,
ż
8 n´1
pθuq ´θu
0 “ ErhpTqs “ hptq¨ θe dt.
0 p2n ´ 1q!