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388 Ap´ endice B

b) X p1q ´ 1{n es el UMVUE para θ.
263. a) EpTq“ EpX 1 q“ θ.
2
b)VarpTq“ VarpX 1 q“ σ .
¯
c) EpT | Uq“ EpX 1 | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q“pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q{n “ X.
¯
2
d)VarpEpT | Uqq “ VarpXq“ σ {n.
2
e)Este es el Ejercicio 193. Resulta que CICRpθq es la constante σ {n.Es
constante pues no es funci´on del par´ametro θ.
f )Los resultados anteriores demuestran que, efectivamente,

σ 2
2
“ CICRpθq“ VarpEpT | Uqq ď VarpTq“ σ .
n
264. Soluci´on omitida.

265. Soluci´on omitida.
266. Soluci´on omitida.

267. Puede comprobarse que la primera estad´ıstica de orden X tiene funci´on
p1q
de densidad
#
ne ´npx´θq si x ą θ,
fpxq“
0 en otro caso.
Puede verificarse entonces que EpX q“ 1{n ` θ,yde aqu´ısedesprende
p1q
la propiedad de insesgamiento del estimador. Para demostrar la propiedad
de suficiencia puede usarse el teorema de factorizaci´on de Neyman. Tenemos
que
n
ź
Lpx 1 ,...,x n ; θq“ e ´px i ´θq ¨ 1 pθ,8q px i q
i“1
“ e n¯x ¨ e nθ ¨ 1 px q
pθ,8q p1q
“ hpx 1 ,...,x n q¨ gpx p1q ; θq.

Esto demuestra la suficiencia de X p1q ,yenconsecuencia, tambi´en la suficien-
cia de X p1q ´ 1{n.Alternativamente, puede modificarse ligeramente el factor
gpx p1q ; θq en las ecuaciones anteriores para escribirlo como gpx p1q ´ 1{n; θq.
Veamos ahora la completez. Es suficiente demostrar esta propiedad para X p1q .
Sea hptq una funci´on definida en el intervalo pθ, 8q y tal que EphpTqq “ 0,
con T “ X .Estacondici´on es equivalente a la identidad
p1q
ż
8
hptq e ´nt dt “ 0.
θ
La integral corresponde a una transformada de Laplace de la funci´on hptq
en el intervalo pθ, 8q.Por la propiedad de unicidad de esta transformada,la