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Sugerencias a los ejercicios 387

d)

¯
¯
ˆ ˙ nX´1 ˆ ˙ nX´1
n ´ 1 n ´ 1
¯
2
¯ 2
VarpEpT | Uq “ Ep Xq ´ E p Xq
n n
ˆ ˙ 2 8 ˆ ˙ 2x
n ÿ n ´ 1 x 2 ´nθ pnθq x 2 ´2θ
“ e ´ θ e
n ´ 1 n n 2 x!
x“1
ˆ ˙ 2 8 n´1 2 x
n ÿ xpx ´ 1q` x pp q nθq
2 ´2θ
“ e ´nθ n ´ θ e
n ´ 1 n 2 x!
x“1
.
.
.
θ θ
2
“ e ´2θ`θ{n p1 `pn ´ 1q 2 q´ e ´2θ θ .
n n
e) Sabemos que CICRpθq“ θ{n para la varianza de cualquier estima-
dor insesgado para el par´ametro θ de la distribuci´on Poisson. Si ahora
consideramos la funci´on parametral τpθq“ θe ´θ ,entonces CICRpθq“
2
2
pθ{nqpτ pθqq “ e ´2θ p1 ´ θq θ{n.
1
f )Soluci´on omitida.
262. a)Puede comprobarse que la funci´on de densidad de X p1q es
#
ne ´npx´θq si x ą θ,
pxq“
f X p1q
0 en otro caso.
De donde puede encontrarse que EpX p1q q“ θ `1{n.Para la suficiencia
tenemos la factorizaci´on

ř n
px 1 ,...,x n ; θq “ e ´ i“1 px i ´θq ¨ 1 px 1 q¨¨¨ 1 px n q
f X 1 ,...,X n pθ,8q pθ,8q
“ e nθ e ´n¯x 1 pθq
p0,x p1q q
nθ
“ e 1 pθq¨ e ´n¯x
p0,x p1q q
“ gpx p1q ; θq¨ hpx 1 ,...,x n q.

Por lo tanto, X p1q ´ 1{n es tambi´en suficiente. Para la completez, sea
T “ X p1q ´ 1{n ysupongaque h es una funci´on tal que EphpTqq “ 0.
Para cualquier valor de θ ą 0se cumple que
ż ż
8 8
0 “ EphpTqq “ hptqne ´npt`1{n´θq dt “ ne nθ´1 hptqe ´nt dt.
θ θ
Esto implica que la ´ultima integral es cero. Derivando esta integral
respecto de θ,ysuponiendocontinuidad delafunci´on h,seobtiene que
para casi cualquier t ą θ, hptq“ 0.