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386 Ap´ endice B

x
h)Para la primera desigualdad use e ą 1 ` x.Lasegundadesigualdad
es estricta para n ě 2.

i)No se puede garantizar que el estimador EpT | Uq sea el UMVUE para
τpθq,pues podr´ıa existir otro estimador insesgado que alcance la cota
inferior de Cram´er-Rao.

j)Supongamos que ErhpUqs “ 0paracada θ ą 0. Entonces, como U
tiene distribuci´on Poissonpnθq,

8 u 8
ÿ pnθq ÿ hpuq
0 “ hpuqe ´nθ “ e ´nθ pnθq u
u! u!
u“0 u“0

Esta es una serie de potencias en θ que se anula para todo valor de
θ ą 0. En consecuencia, sus coeficientes son cero. Esto implica que
hpuq“ 0para u “ 0, 1,...

k)Por el teorema de Lehmann-Scheff´e, puede concluirse que EpT | Uq es el
UMVUE para τpθq.Este es un ejemplo de un UMVUEque no alcanza
la cota inferior de Cram´er-Rao.

261. a) EpTq“ PpX 1 “ 1q“ θ e ´θ .

b)El resultado es evidente a partir de la observaci´on de que T tiene dis-
tribuci´on Berpθ e ´θ q.

c)Para u ě 1entero,

EpT | U “ uq“ PpX 1 “ 1 | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
PpX 1 “ 1,X 2 `¨ ¨ ¨ ` X n “ u ´ 1q
“
PpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
u´1
ppn ´ 1qθq u!
“ e ´θ θ ¨ e ´pn´1qθ ¨ e nθ
pu ´ 1q! pnθq u
ˆ ˙ u´1
n ´ 1 u
“ .
n n