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392 Ap´ endice B

273. La variable aleatoria m´ax 1ďiďn |X i |{θ tiene funci´on de distribuci´on

#
u n si 0 ă u ă 1,
Fpuq“
0 en otro caso,

la cual no depende de par´ametros desconocidos. De manera que, dado un

valor de α,pueden encontrarse dos valores 0 ă a ă b tales que Ppa ă
a a
n n
m´ax 1ďiďn |X i |{θ ă bq“ 1 ´ α.Porejemplo, a “ α{2y b “ 1 ´ α{2. De
aqu´ıse obtieneel siguiente intervalode confianza, suponiendo 0 ă α ă 1{2,
m´ax 1ďiďn |X i | m´ax 1ďiďn |X i |
Pp a ă θ ă a q“ 1 ´ α.
1 ´ α{2 α{2

274. Sea X una variable aleatoria con la distribuci´on indicada. Observe que X ´
a „ expp1{θq.Se procede como en el caso exponencial. Tenemos la muestra

aleatoria X 1 ´ a, . . . , X n ´ a de la distribuci´on expp1{θq.Por lo tanto, pX 1 `
¨¨¨ ` X n q´ an tiene distribuci´on gamapn, 1{θq.Entonces

1
¯
rnX ´ ans„ gamapn, 1q.
θ
Pueden encontrarse dos valores 0 ă γ 1´α{2 ă γ α{2 tales que Ppγ 1´α{2 ă
¯
rnX ´ ans{θ ă γ α{2 q“ 1 ´ α,de donde se obtieneelintervalode confianza
¯ ¯
npX ´ aq npX ´ aq
Pp ă θ ă q“ 1 ´ α.
γ α{2 γ 1´α{2

2
275. La media θ es desconocida y la varianza σ es conocida. En este caso un
intervalo para θ con confianza del p1 ´ αq100 % est´adadopor

?
?
¯
¯
pX ´ z α{2 ¨ σ{ n, X ` z α{2 ¨ σ{ nq,
?
cuya longitud es - “ 2¨z α{2 ¨σ{ n.Comola confianza debe ser 0.95 “ 1´α,
se tiene que α “ 0.05. Y por lo tanto, z α{2 “ z 0.025 “ 1.96. Se requiere que
?
la longitud - del intervalo sea de 2 cm. Entonces 2 ¨ 1.96 ¨ σ{ n “ 2cm. De
2
2
aqu´ıse obtiene n “p1.96q ¨ σ ,o elenterom´as peque˜no que exceda esta
cantidad.
276. a) C “t0u, α “ 0, β “ 31{32.

b) C “t0, 1, 2, 3, 4, 5u, α “ 5{6, β “ 0.
277. Use el teorema de probabilidad total. Si D denota el evento de lanzar el dado
y M el evento de lanzar la moneda, entonces para x “ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,

PpX “ xq“ PpX “ x | Dq PpDq` PpX “ x | Mq PpMq.