Page 393 - EI2019.pdf

Sugerencias a los ejercicios 385

260. a) EpTq“ Ep1 t0u pX 1 qq “ PpX 1 “ 0q“ e ´θ .

b)Para cualesquiera n´umeros reales x 1 ,...,x n ,
θ x 1 θ x n
fpx 1 ,...,x n ; θq “ e ´θ ¨¨¨ e ´θ 1 px 1 q¨¨¨ 1 px n q
x 1 ! x n ! t0,1,...u t0,1,...u
1
“ e ´nθ θ x 1 `¨¨¨`x n ¨ 1 px 1 q¨¨¨ 1 px n q
x 1 ! ¨¨¨ x n ! t0,1,...u t0,1,...u
“ gpUpx 1 ,...,x n q; θq¨ hpx 1 ,...,x n q.

El teorema de factorizaci´on garantiza que U es suficiente para θ.

c)Sean x 1 ,...,x n y y 1 ,...,y n cualesquiera n´umeros reales. Entonces

fpx 1 ,...,x n ; θq y 1 ! ¨¨¨ y n ! θ x 1 `¨¨¨`x n 1 t0,1,...u px 1 q¨¨¨ 1 t0,1,...u px n q
“
fpy 1 ,...,y n ; θq x 1 ! ¨¨¨ x n ! θ y 1 `¨¨¨`y n 1 t0,1,...u py 1 q¨¨¨ 1 t0,1,...u py n q
Esta cantidad no depende θ ô Upx 1 ,...,x n q“ Upy 1 ,...,y n q.Esto
comprueba que U es suficiente minimal.

d) Para cada valor u “ 0, 1,...
EpT | U “ uq“ Ep1 t0u pX 1 q| X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq

“ PpX 1 “ 0 | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq

“ PpX 1 “ 0,X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq{PpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
“ PpX 1 “ 0,X 2 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq{PpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
“ PpX 1 “ 0q PpX 2 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq{PpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
u
u
“pe ´θ e ´pn´1qθ ppn ´ 1qθq {u!q{pe ´nθ pnθq {u!q
u
“ppn ´ 1q{nq .
U
De donde se concluye que EpT | Uq“ppn ´ 1q{nq .
e)El resultado se obtiene al observar que T tiene distribuci´on Bernoulli
de par´ametro e ´θ .
f )Usando la expresi´on de la f.g.p. para la distribuci´on Poissonpnθq,
2 2
VarpEpT | Uqq “ EpE pT | Uqq ´ E pEpT | Uqq
2U 2 U
“ Epppn ´ 1q{nq q´ E pppn ´ 1q{nq q
2
“ exptnθpppn ´ 1q{nq ´ 1qu ´ expt2nθppn ´ 1q{n ´ 1qu
“ e ´2θ pe θ{n ´ 1q.

g)Haciendo las operaciones indicadas en la definici´on para la cota inferior
de Cram´er-Rao se encuentra que

1 2
pτ pθqq ´2θ
CICRpθq“ “ e pθ{nq.
B 2
nErp ln fpX; θqq s
Bθ