Page 392 - EI2019.pdf

384 Ap´ endice B

256. Tome la funci´on hpxq“ x,quees distinta decero. Sea T una variable alea-
toria con distribuci´on Np0, θq,cuya media es cero y cuya varianza es θ.Es
inmediato comprobar que ErhpTqs “ 0paratodo θ ą 0sin que hpTq sea
cero.

2
257. a)Se propone T “ 1 t1u pX 1 q` e 1 t0u pX 1 q.Este estimador es insesgado
pues
2
2
EpTq“ PpX 1 “ 1q` e PpX “ 0q“ θ `p1 ´ θqe .
b)Sea u Pt0, 1,...,nu un posible valor de U “ X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n .Entonces

2
EpT | U “ uq“ Ep1 t1u pX 1 q` e 1 t0u pX 1 q| X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq

“ PpX 1 “ 1 | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
2
`e PpX 1 “ 0 | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
PpX 1 “ 1qPpX 2 `¨ ¨ ¨ ` X n “ u ´ 1q
“
PpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq

`e 2 PpX 1 “ 0qPpX 2 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
PpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n “ uq
. . .

u n ´ u
“ ` e 2 .
n n

2
Por lo tanto, EpT | Uq“ U{n ` e pn ´ Uq{n.
c)Como U es suficiente y completa, y T es insesgado, por el teorema de
2
Lehmann-Scheff´e, EpT | Uq es el UMVUE para τpθq“ θ `p1 ´ θqe .
258. Soluci´on omitida.

259. a)Evidente.
b)Evidente del hecho de que VarpXq“ θ.

c)

1
EpT | Uq “ Ep pX 1 ` X 2 q| X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q
2
“ EpX 1 | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q
¯
“ X.

d)Evidente del hecho de que VarpXq“ θ.

e)Este es el Ejercicio 192. Vea su soluci´on.
f )Evidente de las expresiones anteriores.