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Sugerencias a los ejercicios 383

b)Observe que T „ Poissonpnθq.Entonces

8 t 8 t
ÿ pnθq ÿ n
t
EphpTqq “ hptqe ´nθ “ e ´nθ hptq θ .
t! t!
t“0 t“0
Para que este polinomio en θ sea cero para cualquier valor de θ ą 0,
n t
sus coeficientes deben ser forzosamente cero, esto es, hptq “ 0para
t!
cualquier t “ 0, 1,.... Por lo tanto, hptq“ 0para t “ 0, 1,....Es decir,
hpTq“ 0.
c)Observe que T „ bin negpn, θq.Entonces

8 ˆ ˙ 8 ˆ ˙
ÿ n ` t ´ 1 ÿ n ` t ´ 1
t
n
t
EphpTqq “ hptq θ p1´θq “ θ n hptq p1´θq .
t t
t“0 t“0
Para que este polinomio en 1 ´ θ sea cero para cualquier valor de θ P
` ˘
n`t´1
p0, 1q,sus coeficientes deben ser forzosamente cero, esto es, hptq “
t
0paracualquier t “ 0, 1,....Por lo tanto, hptq“ 0para t “ 0, 1,....
Es decir, hpTq“ 0.
d)Soluci´on omitida.
e)Soluci´on omitida.
253. Soluci´on omitida.

254. a)Observe que T tiene distribuci´on Poissonpkθq. Sea h una funci´on tal
que
8 t 8
ÿ pkθq ÿ hptq
t
0 “ ErhpTqs “ hptq e ´kθ “ e ´kθ θ .
t! t!
t“0 t“0
Esta suma es una serie de potencias en θ que se anula para todo valor
θ ą 0. Esto s´olo ocurre cuando sus coeficientes son todos cero. Es decir,
hptq{t! “ 0, lo que implica que hptq“ 0 para t “ 0, 1,....Estosignifica
que hpTq“ 0.
b)Sea la funci´on hpx 1 ,...,x k q“ x 1 ´x 2 definida en t0, 1,...uˆt0, 1,...u,
que es distinta de cero. Se comprueba que T no es completa pues se
cumple la condici´on ErhpTqs “ 0sinque hpTq sea cero. En efecto,

8
ÿ ´θ θ x 1 ´θ θ x 2
ErhpTqs “ px 1 ´ x 2 qpe qpe q“ θ ´ θ “ 0.
x 1 ! x 2 !
x 1 ,x 2 “0

255. Tome la funci´on hpxq“ x, que es distinta de cero. Sea T una variable aleato-
ria con distribuci´on unifp´θ, θq,cuya mediaescero.Esinmediato comprobar
que ErhpTqs “ 0paratodo θ ą 0sinque hpTq sea cero.