Page 390 - EI2019.pdf
P. 390
382 Ap´ endice B
b)
EpX | Y q “ EpX | Y “´1q¨ 1 pY “´1q ` EpX | Y “ 1q¨ 1 pY “1q
“p9{4q¨ 1 pY “´1q `p7{4q¨ 1 pY “1q
EpY | Xq “ EpY | X “ 1q¨ 1 ` EpY | X “ 2q¨ 1
pX“1q pX“2q
`EpY | X “ 3q¨ 1 pX“3q
“p1{3q¨ 1 pX“1q `p´1{3q¨ 1 pX“3q
c)No es necesario hacer muchos c´alculos. Observe que X y Y son inde-
pendientes. Entonces EpX | Y q“ EpXq“ 2y EpY | Xq“ EpY q“ 0.
249. Por la propiedad de linealidad y la hip´otesis de id´entica distribuci´on,
1
EpX 1 | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q“ EpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q
n
1
“ pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q.
n
250. Algunos de los siguientes c´alculos pueden simplificarse observando que X 1 ¨X 2
2
tiene distribuci´on Berpθ q.
2
a) EpTq“ EpX 1 ¨ X 2 q“ EpX 1 q¨ EpX 2 q“ θ “ τpθq.
2
2
4
2
2
2
2
b)VarpTq“ VarpX 1 ¨X 2 q“ EpX ¨X q´E pX 1 ¨X 2 q“ θ ´θ “ θ p1´θ q.
1
2
c) EpT | Uq“pUpU ´ 1q{pnpn ´ 1qq.
d)Encuentre VarpEpT | Uqq “ ....
e)Compruebe que VarpEpT | Uq ď VarpTq.
251. En ambos casos la transformaci´on es una biyecci´on.
252. a)Observe que T „ binpnk, θq.Entonces
nk ˆ ˙ nk ˆ ˙
ÿ nk ÿ nk
t
t
EphpTqq “ hptq θ p1´θq nk´t “p1´θq nk hptq pθ{p1´θqq .
t t
t“0 t“0
La suma corresponde a un polinomio de la variable x “ θ{p1 ´ θq.
Para que este polinomio en x sea cero para cualquier posible valor de
` ˘
nk
x,sus coeficientesdeben ser forzosamente cero, esto es, hptq “ 0
t
para cualquier t “ 0, 1,... ,nk.Por lo tanto, hptq“ 0 para cualquier
t “ 0, 1,... ,nk.Es decir, hpTq“ 0.