Page 390 - EI2019.pdf
P. 390

382                                                                      Ap´ endice B



                           b)


                                  EpX | Y q   “ EpX | Y “´1q¨ 1       pY “´1q  ` EpX | Y “ 1q¨ 1 pY “1q
                                              “p9{4q¨ 1    pY “´1q  `p7{4q¨ 1 pY “1q





                                    EpY | Xq    “ EpY | X “ 1q¨ 1           ` EpY | X “ 2q¨ 1
                                                                     pX“1q                      pX“2q
                                                    `EpY | X “ 3q¨ 1   pX“3q
                                                “p1{3q¨ 1    pX“1q  `p´1{3q¨ 1  pX“3q




                           c)No es necesario hacer muchos c´alculos. Observe que X y Y son inde-
                              pendientes. Entonces EpX | Y q“ EpXq“ 2y EpY | Xq“ EpY q“ 0.

                   249. Por la propiedad de linealidad y la hip´otesis de id´entica distribuci´on,

                                                              1
                              EpX 1 | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q“       EpX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n | X 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q
                                                              n
                                                              1
                                                         “      pX 1 `¨ ¨ ¨ ` X n q.
                                                              n

                   250. Algunos de los siguientes c´alculos pueden simplificarse observando que X 1 ¨X 2
                                                  2
                        tiene distribuci´on Berpθ q.
                                                                           2
                           a) EpTq“ EpX 1 ¨ X 2 q“ EpX 1 q¨ EpX 2 q“ θ “ τpθq.
                                                               2
                                                                   2
                                                                                            4
                                                                                                  2
                                                                                                        2
                                                                         2
                                                                                        2
                           b)VarpTq“ VarpX 1 ¨X 2 q“ EpX ¨X q´E pX 1 ¨X 2 q“ θ ´θ “ θ p1´θ q.
                                                               1
                                                                   2
                           c) EpT | Uq“pUpU ´ 1q{pnpn ´ 1qq.
                           d)Encuentre VarpEpT | Uqq “ ....
                           e)Compruebe que VarpEpT | Uq ď VarpTq.
                   251. En ambos casos la transformaci´on es una biyecci´on.
                   252.    a)Observe que T „ binpnk, θq.Entonces

                                           nk      ˆ   ˙                           nk      ˆ    ˙
                                           ÿ         nk                            ÿ         nk
                                                                                                            t
                                                           t
                              EphpTqq “       hptq       θ p1´θq  nk´t  “p1´θq  nk     hptq       pθ{p1´θqq .
                                                      t                                       t
                                           t“0                                     t“0
                              La suma corresponde a un polinomio de la variable x “ θ{p1 ´ θq.
                              Para que este polinomio en x sea cero para cualquier posible valor de
                                                                                                 ` ˘
                                                                                                  nk
                              x,sus coeficientesdeben ser forzosamente cero, esto es, hptq              “ 0
                                                                                                   t
                              para cualquier t “ 0, 1,... ,nk.Por lo tanto, hptq“ 0 para cualquier
                              t “ 0, 1,... ,nk.Es decir, hpTq“ 0.
   385   386   387   388   389   390   391   392   393   394   395