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380 Ap´ endice B

238. Por contradicci´on. Supongamos que S es suficiente. Como T es suficiente

minimal, T es funci´on de S.Sinembargo, Sp0, 0q“ Sp1, 1q y Tp0, 0q‰
Tp1, 1q.

239. Puede verificarse que

fpx 1 ,...,x n ; θq 1 p0,θq px 1 q¨¨¨ 1 p0,θq px n q 1 px pnq ,8q pθq
“ “ .
fpy 1 ,...,y n ; θq 1 p0,θq py 1 q¨¨¨ 1 p0,θq py n q 1 py pnq ,8q pθq

Esta expresi´on es id´enticamente 1 y no depende de θ ô x “ y ,es decir,
pnq pnq
Tpx 1 ,...,x n q“ Tpy 1 ,...,y n q.Esta es la condici´on del teorema 2.6 para
concluir que T es suficiente minimal.

240. Soluci´on omitida.

241. Soluci´on omitida.

242. Por contradicci´on. Supongamos que S es suficiente. Como T es suficiente
minimal, T es funci´on de S.Sin embargo, Sp0, 0q“ Sp2, ´1q y Tp0, 0q‰
Tp2, ´1q.

243. a)Se comprueba que f px 1 ,...,x n | t 1 ,t 2 q no depende de θ.
X 1 ,...,X n | T 1 ,T 2
Esta funci´on es igual a

px 1 ,...,x n q
f X 1 ,...,X n
,
pt 1 ,t 2 q
f T 1 ,T 2
cuando x 1 ,...,x n son tales que T 1 “ t 1 y T 2 “ t 2 .Elnumeradores

ˆ ˙ n{2 n
1 ÿ 2 2
exp t´ px i ´ θq {2σ u.
2πσ 2
i“1
El denominador es

1 pt 1 ´pn{2qθq 2 pt 2 ´pn{2qθq 2
exp t´ ´ u.
πnσ 2 nσ 2 nσ 2
Se desarrollan estos exponentes tanto en el numerador como en el deno-
2
minador y se observa que los coeficientes de θ yde θ coinciden arriba
yabajo.Deestamaneratales t´erminos desaparecen y se demuestra as´ı
la no dependencia de θ de esta funci´on.

b)Puesto que pT 1 ,T 2 q no es funci´on de la estad´ıstica suficiente T “ X 1 `
¨¨¨ ` X n ,puesunvalor de T no puede determinar los valores de T 1 y
T 2 ,seconcluye que pT 1 ,T 2 q no puede ser suficiente minimal.