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Sugerencias a los ejercicios 379

g)Lo es.

h)No lo es.
i)Lo es.

j)No lo es.

231. a)Sean x 1 ,...,x n y y 1 ,...,y n dos valores de la m.a. tales que Spx 1 ,...,x n q“
Spy 1 ,...,y n q.Como T es funci´on de S, Tpx 1 ,...,x n q“ Tpy 1 ,...,y n q.
Y como U es funci´on de T, Upx 1 ,...,x n q“ Upy 1 ,...,y n q.

b)Evidente.
c) T “ X 1 ` X 2 es funci´on de S “ X 1 ,pero S no es funci´on de T.

232. Se puede usar el teorema de factorizaci´on. Como T es suficiente para θ,

fpx 1 ,...,x n ; θq“ gpTpx 1 ,...,x n q; θq hpx 1 ,...,x n q.

ˆ
Por lo tanto, el valor θ que maximiza a la funci´on fpx 1 ,...,x n ; θq tambi´en
ˆ
maximiza a gpTpx 1 ,...,x n q; θq.Y de esta manera θ depende de x 1 ,...,x n
s´olo a trav´es de Tpx 1 ,...,x n q.
233. Soluci´on omitida.

234. Soluci´on omitida.

235. a)Se comprueba que Sp0, 0, 1q“ Sp0, 0, 0q ysin embargo, Tp0, 0, 1q‰
Tp0, 0, 0q.Por lo tanto, T no es funci´on de S,yenconsecuencia, S no
es suficiente.
b)Se comprueba que Sp0, 0, 1q“ Sp1, 1, 0q ysin embargo, Tp0, 0, 1q‰
Tp1, 1, 0q.Por lo tanto, T no es funci´on de S,yenconsecuencia, S no
es suficiente.
c)Se comprueba que Sp0, 1, 0q“ Sp1, 0, 1q ysin embargo, Tp0, 1, 0q‰
Tp1, 0, 1q.Por lo tanto, T no es funci´on de S,yenconsecuencia, S no
es suficiente.
236. Por contradicci´on. Supongamos que S es suficiente. Como T es suficien-
te minimal, T es funci´on de S.Sinembargo, Sp0, 1, 1, 0q“ Sp0, 0, 0, 0q y
Tp0, 1, 1, 0q‰ Tp0, 0, 0, 0q.

237. Omitiendo el soporte de la distribuci´on, puede verificarse que

fpx 1 ,...,x n ; θq px 1 `¨¨¨`x n q´py 1 `¨¨¨`y n q
“p1 ´ θq .
fpy 1 ,...,y n ; θq
De modo que esta expresi´on no depende de θ ô Tpx 1 ,...,x n q“ Tpy 1 ,...,y n q.
Esta es la condici´on del teorema 2.6 para concluir que T es suficiente minimal.