Page 386 - EI2019.pdf

378 Ap´ endice B

c)Soluci´on omitida.

225. Por simplicidad en la escritura consideremos el caso discreto. Sea t “pt 1 ,...,t n q
un valor cualquiera del vector de estad´ısticas T “pX 1 ,...,X n q.Entonces

PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n | T “ tq

“ PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n | X 1 “ t 1 ,...,X n “ t n q
“ 1 tt 1 u px 1 q¨¨¨ 1 tt n u px n q.

Esta cantidad no depende de θ,porlotanto T es suficiente.

226. Por simplicidad en la escritura consideremos el caso discreto. Sea t “pt 1 ,...,t n q
un valor cualquiera del vector de estad´ısticas de orden T “pX p1q ,...,X pnq q.
Observe que necesariamente t 1 ď t 2 ď ¨¨¨ ď t n .Entonces

PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n | T “ tq
“ PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n | X “ t 1 ,...,X “ t n q
p1q pnq
“ 1 tt 1 u px p1q q¨¨¨ 1 tt n u px pnq q.

Esta cantidad no depende de θ,porlotanto T es suficiente.

227. Se puede usar el teorema de factorizaci´on. Omitiendo los factores 1 px i q
t0,1u
en el lado derecho, tenemos que

x 1 1´x 1 ¨¨¨ θ x n 1´x n
PpX 1 “ x 1 ,...,X n “ x n q“ θ p1 ´ θq p1 ´ θq
“ θ x 1 `¨¨¨`x n p1 ´ θq n´x 1 ´¨¨¨´x n
“ θ x 1 `¨¨¨`x k p1 ´ θq k´x 1 ´¨¨¨´x k

¨θ x k`1 `¨¨¨`x n p1 ´ θq pn´kq´x k`1 ´¨¨¨´x n
“ gpT 1 ,T 2 , θq hpx 1 ,...,x n q.

228. Demostraci´on omitida.

229. Usando el teorema de factorizaci´on, la funci´on g es constante respecto de la
estad´ıstica a˜nadida T k`1 .

230. a)No lo es.
b)No lo es.

c)No lo es.
d)Lo es.

e)No lo es.
f )Lo es.