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Sugerencias a los ejercicios 377

221. Para ´1 ă θ ă 1,

2
B
Ipθq“´Er lnp1 ` θXqs
Bθ 2
X 2
“ Er s
p1 ` θXq 2
1 ż 1 x 2
“ dx
2 ´1 1 ` θx
1 1 ` θ
“ p lnp q´ 2θ q.
2θ 3 1 ´ θ

2
222. Puede comprobarse que EpX q“ 1. Por lo tanto, para θ ą 0,
2 2
B X
Ipθq“´Er p´ ln θ ´ qs
Bθ 2 θ
1 2 2
“´Er ´ X s
θ 2 θ 3
2 ´ θ
“ .
θ 3
2
223. a)Para la distribuci´on Npθ, σ q puede demostrarse que Ipθq es la funci´on
2
constante 1{σ .Porlo tanto, la informaci´on de Fisher de la muestra es
2
pθq“ n{σ .
I X 1 ,...,X n pθq“ n ¨ I X 1
2
b)Para la distribuci´on gamapγ, θq puede demostrarse que Ipθq“ γ{θ .
pθq“
Por lo tanto, la informaci´on de Fisher de la muestra es I X 1 ,...,X n
2
pθq“ nγ{θ .
n ¨ I X 1
224. a)Puede comprobarse que si X tiene la distribuci´on Rayleigh indicada,
2
entonces X tiene distribuci´on expp1{θq.Porlo tanto, T tiene distribu-
2
ci´on gamapn, 1{θq.Suinformaci´on de Fisher es entonces I T pθq“ n{θ .
Observe que aqu´ıse aplicael resultadodel ejercicio 215 sobre larepa-
rametrizaci´on de una distribuci´on. Por otro lado, puede comprobarse
que la informaci´on de Fisher de una v.a. con la distribuci´on Rayleigh
2
pθq“ 1{θ .Por lotanto, lainformaci´on de Fisher de la
indicada es I X 1
2 pθq,
muestra aleatoria es I X 1 ,...,X n pθq“ n{θ .Como I T pθq“ I X 1 ,...,X n
se concluye que T es suficiente para θ.
b)Recordemos que la informaci´on de Fisher de una v.a. con distribuci´on
2
2
Npθ, σ q es Ipθq“ 1{σ .Puede comprobarse que T tiene distribuci´on
Np3θ, 5q.Por lo tanto, I T pθq“ 1{5. Por otro lado, la informaci´on de
pθq“ 2. Como
Fisher de la muestra aleatoria es I X 1 ,X 2 pθq“ 2 ¨ I X 1
pθq,se concluye que T no es suficiente para θ.
I T pθq‰ I X 1 ,X 2