Page 383 - EI2019.pdf

Sugerencias a los ejercicios 375

2
2
2
216. Observe que pϕ pηqq “ ϕ pηqp1 ´ ϕpηqq .Ahora aplique la f´ormula del ejer-
1
cicio anterior recordando que Ipθq“ 1{pθp1´θqq.Alternativamente, obtenga
el resultado de la expresi´on

B 2
Ipηq“ E rp log fpX, ϕpηqqq s.
Bη

217. Por la propiedad de incrementos independientes, tenemos que, para valores
enteros 0 ď x 1 ď x 2 ď ¨¨¨ ď x n ,la funci´on de probabilidad del vector
q evaluada en px 1 ,...,x n q es
pX t 1 ,...,X t n

fpx 1 ,...,x n q

“ x n q
“ PpX t 1 “ x 1 ,...,X t n
“ x n ´ x n´1 q
“ PpX t 1 “ x 1 ,X t 2 ´ X t 1 “ x 2 ´ x 1 ...,X t n ´ X t n´1
“ x n ´ x n´1 q
“ PpX t 1 “ x 1 qPpX t 2 ´ X t 1 “ x 2 ´ x 1 q¨¨¨ PpX t n ´ X t n´1
pθt 1 q x 1 pθpt 2 ´ t 1 qq x 2 ´x 1
“ e ´θt 1 ¨ e ´θpt 2 ´t 1 q ¨¨¨
x 1 ! px 2 ´ x 1 q!
x n ´x n´1
pθpt n ´ t n´1 qq
¨¨¨ e ´θpt n ´t n´1 q
px n ´ x n´1 q!
x 1 x 2 ´x 1 ¨¨¨pt n ´ t n´1 q x n ´x n´1
t pt 2 ´ t 1 qq
θ
“ e ´θt n x n 1 .
x 1 !px 2 ´ x 1 q! ¨¨¨px n ´ x n´1 q!

Por lo tanto,

B 1
.
log fpX 1 ,...,X n ; θq“´t n ` X t n
Bθ θ

Al hacer el resto de las operaciones se obtiene que Ipθq“ t n {θ.Alternativa-
´
mente, observe que las variables aleatorias incremento X t 1 ,X t 2 ´X t 1 ,...,X t n
son independientes, con distribuci´on reparametrizada Poissonpθpt i ´
X t n´1
t i´1 q,respectivamente. Defina t 0 “ 0. Entonces, usando la f´ormula para la
informaci´on de Fisher cuando se tiene una reparametrizaci´on, se tiene que

1 1 1
Ipθq“ t 2 `pt 2 ´ t 1 q 2 `¨ ¨ ¨ `pt n ´ t n´1 q 2
1
θt 1 θpt 2 ´ t 1 q θpt n ´ t n´1 q
t n
“ .
θ