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376 Ap´ endice B

218. Por la propiedad de incrementos independientes, tenemos que

fpx 1 ,...,x n q
px 1 ,x 2 ´ x 1 ,...,x n ´ x n´1 q
“ f X t 1
n´1
,X t 2 ´X t 1 ,...,X t n ´X t
px n ´ x n´1 q
“ f X t 1 px 1 qf X t 2 ´X t 1 px 2 ´ x 1 q¨¨¨ f X t n ´X t
n´1
1 2 1 2
1
“ ? e ´x {p2θt 1 q ¨¨¨ a e ´px n ´x n´1 q {p2θpt n ´t n´1 q
2πθt 1 2πθpt n ´ t n´1 q
1 n{2 ´n{2 1
“p q θ a
2π t 1 pt 2 ´ t 1 q¨¨¨pt n ´ t n´1 q
1 x 2 px n ´ x n´1 q 2
¨ expt´ p 1 `¨ ¨ ¨ ` qu
2θ t 1 t n ´ t n´1

Por lo tanto,

B n 1 X 1 2 X n ´ X n´1 2
log fpX 1 ,...,X n ; θq“´ ` rp? q `¨ ¨ ¨ `pa q s.
Bθ 2θ 2θ θt 1 θpt n ´ t n´1 q

La suma de los cuadrados que aparece en esta expresi´on es una variable
2
aleatoria con distribuci´on χ pnq, y por lo tanto su media es n ysusegundo
momento es npn ` 2q.Al hacer el resto de las operaciones se obtiene que
2
Ipθq“ n{p2θ q.Alternativamente, observeque las variables aleatorias incre-
son independientes, con distribuci´on
mento X t 1 ,X t 2 ´ X t 1 ,...,X t n ´ X t n´1
reparametrizada Np0, θpt i ´ t i´1 qq,respectivamente.Defina t 0 “ 0. Enton-
ces, usando la f´ormula para la informaci´on de Fisher cuando se tiene una
reparametrizaci´on, se tiene que

1 1
Ipθq“ t 2 `pt 2 ´ t 1 q 2
1
2 2
2
2θ t 1 2θ pt 2 ´ t 1 q 2
1
2
`¨¨¨ ` pt n ´ t n´1 q
2
2θ pt n ´ t n´1 q 2
n
“ .
2θ 2
219. En cada caso aplique la definici´on de informaci´on de Fisher.

220. Para θ ą 0,

2
B 2
a) Ipθq“´Er 2 pln θ `pθ ´ 1q ln Xqs “ 1{θ .
Bθ
2
B 2
b) Ipθq“´Er 2 pln θ ´ θ|X|q s “ 1{θ .
Bθ