Page 382 - EI2019.pdf

374 Ap´ endice B

muestra aleatoria,

fpx 1 ,x 2 ,T “ tq
fpx 1 ,x 2 | T “ tq“
f T ptq
fpx 1 ,x 2 q
“
f T ptq
´1 ´θ 2
p2πq e
“ 2
e
p10πq ´1{2 ´9θ {10
c
5 2
“ e ´θ {10 .
2
Esta expresi´on depende del par´ametro θ y, por lo tanto, T no es suficiente
para θ.

214. a)La afirmaci´on es evidente pues se trata de la esperanza de una variable
aleatoria positiva.
b)Si a ‰ 0, entonces puede comprobarse que f aX pxq“p1{aq f X px{aq.
Por lo tanto, f aX paXq“p1{aq f X pXq.Entonces

B 1 B 2
I aX pθq“ Erp log ` log f X pX; θqq s
Bθ a Bθ
B 2
“ Erp log f X pX; θqq s
Bθ
“ I X pθq.

c)Puede comprobarse que f X`b pxq“ f X px ´ bq.Por lo tanto, f X`b pX `
bq“ f X pXq.De esta identidad se sigueel resultado pues

B 2
I X`b pθq“ Erp log f X`b pX ` b; θqq s
Bθ
B 2
“ Erp log f X pX; θqq s
Bθ
“ I X pθq.

215.

B 2
Ipηq“ E rp log fpX, ϕpηqqq s
Bη
Bϕpηq B 2
“ E rp log fpX, ϕpηqqq s
Bη Bϕpηq

1 2 B 2
“pϕ pηqq ¨ E rp log fpX, ϕpηqqq s
Bϕpηq
ˇ
1 2 ˇ .
“pϕ pηqq ¨ Ipθq ˇ
θ“ϕpηq